Question

$f(x)=-\frac{x^4}4} +\frac{5x^3}{3} - 2x^2$

usando o teste da derivada primeira e

da derivada segunda, determine:

a) Os pontos críticos;

b) Os intervalos em que é crescente e decrescente;

Answer 1

Através dos cálculos realizados, podemos afirmar que os pontos críticos desta função são $\bf 0,\:1\:e\:4$ e os seus intervalos de crescimento e decrescimento são dados por:

$\begin{cases} \bf {crescente} : x < 0 \: \: ou \: \: 1 < x < 4 \\ \bf decrescente: 0 < x < 1 \: ou \: x > 4 \end{cases}$

Explicação

Temos a seguinte função:

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\bf f(x) = - \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{5x {}^{3} }{3} - 2x {}^{2}$.

A partir desta a questão faz algumas perguntas, sendo elas:

• a) Os pontos críticos;

Para determinar os pontos críticos de uma função, devemos analisar onde a derivada primeira se anula $f'(x) = 0$. Vale ressaltar que, devido a configuração desta função, vamos usar na derivação da mesma, a regra do monômio, caracterizada por $(x^n)' = x.a^{x-1}$.

$f'(x)= \left( - \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{5x {}^{3} }{3} - 2x {}^{2} \right) ' \\ \\ f'(x) = - 4. \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{5x {}^{3} }{3} - 2.2x\\ \\ \boxed{ f'(x) = - x {}^{3} + 5x {}^{2} - 4x}$

Igualando a expressão da derivada a 0:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: - x {}^{3} + 5x {}^{2} - 4 = 0$

Observe que trata-se de uma equação do terceiro grau e para que possamos encontrar os pontos críticos, é necessário resolvê-la, para isso vamos partir pela fatoração da expressão.

$0 = - x {}^{3} + 5x {}^{2} - 4x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 0 = - x.(x {}^{2} - 5x + 4) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 0 = - x.(x^{2} + ( - 1 - 4)x + 4) \\ 0 = - x.(x^{2} - x - 4x + 4) \: \: \: \: \: \: \: \\ 0 = - x.(x(x - 1) - 4(x - 1)) \\ 0 = - x.(x - 1).(x - 4) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Pelo anulamento de produto sabemos que em uma multiplicação de expressões em que o resultado é 0, um dos termos é nulo. Já que não podemos afirmar qual expressão que anula o produto, fazemos a igualdade de ambos a 0.

$(1) \begin{cases} -x = 0 \\ x = 0 \end{cases} \: \: (2) \begin{cases} x - 1 = 0 \\ x = 1 \end{cases} \: \: (3) \begin{cases} x - 4 = 0 \\ x = 4 \end{cases}$

Portanto podemos concluir que os pontos críticos da função f(x) são $\bf x = 0,\:x = 1 \:e\:x=4$.

• b) Os intervalos em que é crescente e decrescente;

Utilizando a derivada, podemos encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função, uma vez que $\begin{cases}\bf f'(x)>0\:\to\:crescente\\\bf f'(x)<0\:\to\: decrescente\\\end{cases}$. Como já sabemos a derivada da função, vamos apenas aplicar a desigualdade.

• Desigualdades:

Como temos que analisar tanto para a derivada maior que 0, quanto para menor que 0, então

$I) - x.(x - 1).(x - 4) > 0 \: \: \\ II) \: - x.(x - 1).(x - 4) < 0$

Note que se trata de uma inequação do produto de funções, podemos fazer o estudo do sinal de cada uma delas e no final fazer uma síntese. Para este estudo é necessário utilizarmos as raízes das funções, que são basicamente os pontos críticos encontrados anteriormente.

• Vamos dispor cada uma destas raízes sobre uma reta real e após isso utilizar valores dela na expressão da derivada, sendo estes valores correspondentes aos intervalos e ao final observar o sinal dos valores obtidos. (A reta real está anexada na resposta).

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• Sinal para x < 0:

Antes do zero podemos escolher qualquer valor, já que não há nenhum valor limitando este intervalo, por questão de simplicidade, vamos escolher o número -1 para o teste.

$\underbrace{ - ( - 1).( - 1 - 1).( - 1 - 4)}_{ \rm positivo} = 10$

• Sinal para 0 < x < 1:

Diferentemente do anterior, este é limitado entre 0 e 1, isto é, podemos escolher qualquer valor sem incluir os extremos, vamos pegar o número 1/2 que é simples e se encontra no intervalo.

$\underbrace{ \left( - \frac{1}{2} \right). \left( \frac{1}{2} - 1 \right). \left( \frac{1}{2} - 4 \right)}_{ \rm negativo}= - \frac{7}{8}$

• Sinal para 1 < x < 4:

Análogo ao anterior, este é limitado entre 1 e 4, vamos escolher o número 2 para o teste.

$\: \: \: \: \: \: \: \underbrace{( - 2).( 2 - 1).( 2 - 4)}_{ \rm positivo} =4$

• Sinal para x > 4:

Semelhante ao primeiro cálculo, este é um intervalo ilimitado e podemos escolher qualquer valor que seja maior que 4. Vamos utilizar o número 10.

$\: \underbrace{( - 10).( 10- 1).( 10- 4)}_{ \rm negativo} = - 540$.

Sintetizando estas informações obtidas, podemos ver que de $-\infty$ a 0 a função é crescente, de 0 à 1 é ela decresce, de 1 à 4 volta a ser crescente e termina decrescente de 4 até $\infty$ .Escrevendo isto em notação de conjuntos ficamos com:

$\begin{cases} \bf {crescente} : x < 0 \: \: ou \: \: 1 < x < 4 \\ \bf decrescente: 0 < x < 1 \: ou \: x > 4 \end{cases}$

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Espero ter ajudado.

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