Question

$f(x)=2^{x+1}\\\\g(x)=\log_2(x^2-1)\\\\f(g(x))=2^{\log_2(x^2-1)+1}~~ou~~f(g(x))=2x^2-2\\\\Pois~~2^{\log_2(x^2-1)+1}=2x^2-2$
Como fica o domínio da função f(g(x))?
Eu sei que na primeira opção de f(g(x)) o domínio é $D=~]-\infty,-1[~\cup~]1,\infty+[$, pois o logaritmando deve ser maior que zero. E na segunda opção, o domínio é $D=\Re$, pois a função não possui nenhuma restrição.
Mas qual dos dois domínios é o correto?

Answer 1

Resposta:

O domínio é (-∞,-1) U (1,∞)

Explicação passo-a-passo:

O problema maior é conceitual.

Imagine que temos dois conjuntos A e B e uma função f: A→ B. Isso quer dizer que a cada elemento a do conjunto A associamos algum elemento do conjunto B através de f. Intuitivamente falando (e a notação de funções contribui pra essa intuição) podemos pensar que f "transforma" ou "leva" cada elemento a do conjunto A em algum elemento do conjunto B.

Agora consideremos uma outra função g: C → D. Por composição de funções entendemos como a "concatenação". Em outras palavras, f o g age da seguinte forma:

Cada elemento c de C é levado num elemento g(c) pela função g. Em seguida, f "age" levando esse elemento g(c) de D em f(g(c)).

Para isso fazer sentido é necessário que g(c) esteja no conjunto A. Ou seja, que a imagem de g seja um conjunto contido no domínio de f. Caso isso seja verdade estará definida a função composta fog : C → B. Note que o domínio é C.

Obs.: Alguns autores já consideram exemplos do tipo

g: A → B

f: B → C

e daí temos fog: A → C

Nesse caso já temos embutida a condição da imagem de g estar contida no domínio de f.

Voltando ao seu exemplo, temos:

f: R → R

g: A → R

Onde A é o conjunto (-∞,-1) U (1,∞). Nesse caso a composta fog está bem definida, já que a imagem de g está contida no domínio de f:

fog: A → R

Não é correto dizer que o domínio de fog é R. Isso porque composição é uma "concatenação". Para calcular fog(x) precisamos calcular primeiro g(x) e de depois calcular f(g(x)). Mas não podemos calcular g(x) para qualquer x real.

Outro problema é que  

$2^{\log_2(x^2 -1) + 1} \neq 2x^2$

De fato, só vale a igualdade se |x|  > 1. Não podemos fazer essa simplificação sem lembrar que estamos considerando |x| > 1. Seria o mesmo erro em dizer

$\sqrt{x^2} = x$

Essa última só é verdade se x ≥ 0.  Ou seja, para o seu problema ao considerarmos f(g(x)) = 2x² estamos assumindo implicitamente que |x| > 1. Ou seja, você pode usar a fórmula "2x²" para expressar fog. E embora "2x²" esteja definida para todo R, o método que usamos para obtê-la embutiu restrições. Temos então que lembrar que estamos considerando |x| > 1.

Obs.:

Numa função f: A → B precisamos de 3 coisas: o domínio (que é o conjunto A), o contradomínio (que é B) e a "regra" que nos permite pegar um elemento de A e "levar" num elemento de B. Um erro conceitual comum é confundir uma expressão como

f(x) = 2x

com uma função. Essa expressão é apenas a "regra" que permite associar a cada elemento x do domínio um elemento f(x) do contradomínio. Sendo bem chato, para definirmos uma função precisamos também falar quem é o domínio e o contradomínio. Mas o que significa então aqueles problemas do tipo "encontre o domínio da função abaixo"

f(x) = 1/x

Esse tipo de pergunta quer dizer o seguinte: "Qual é o maior conjunto (de números reais) de forma que a expressão acima faz sentido ?" Assim, a resposta seria o conjunto R-{0}. Note que não faz sentido falar numa função cujo domínio é R e cuja "regra" é f(x) = 1/x, pois essa regra não nos diz qual a imagem de 0 já que não existe 1/0.

Sobre a composição de funções, na pratica pode aparecer algum problema assim:

f(x) = √x

g(x) = x

E é pedido que encontremos fog. Aí vem o problema:

O domínio (nas condições que expliquei acima) de g é R e sua imagem é R. E o domínio de f são os números não negativos. Ai não podemos fazer a composição já que g(x) pode "cair" fora do domínio de f.

Para resolver esse problema, a abordagem é o seguinte: Retiramos alguns elementos do domínio de g. Nesse exemplo, retiramos os números negativos. Isso significa que trocamos o domínio de g para  o conjunto {x; x≥0}

g: {x; x ≥ 0} → R,      g(x) = x

Assim, com esse novo domínio a imagem de g(x) não terá números negativos e podemos calcular f(g(x)) sem problemas. Com isso obtemos a função composta:

fog : {x; x ≥ 0} → R,    fog(x) = √x

Essa é a maneira que devemos interpretar esse tipo de questão.

Esse tipo de confusão é proliferado por abusos da linguagem matemática nos enunciados dos problemas e em até vários livros didáticos. Muitas vezes tentando simplificar a exposição de algum conteúdo (matemática não é fácil né), acaba-se introduzindo contradições (vulgo erros) na teoria.