Question

$calcule -o- limite - detalhadamente. \\ \lim_{x\to 2} \frac{e^x-e^2}{x-2}$

Answer 1

Vamos utilizar a regra de L'hospital.

$\mathsf{\lim_{x \to 2}\dfrac{{e}^{x}-{e}^{2}}{x-2}}$

Vamos lembrar algumas regras de derivada

1) derivada da função exponencial de base e.

$\mathsf{\dfrac{d}{dx}{e}^{u}={e}^{u}.\dfrac{du}{dx}}$

Em outras palavras a derivada da exponencial é igual a própria exponencial vezes a derivada do expoente.

2)Derivada da função identidade

$\mathsf{\dfrac{d}{dx}(x)=1}$

Aplicando L'hospital temos

$\large\mathsf{\lim_{x \to 2}\dfrac{\dfrac{d}{dx}({e}^{x}-{e}^{2})}{\dfrac{d}{dx}(x-2)}} \\ = \huge\mathsf{\lim_{x \to 2} {e}^{x}} = {e}^{2}$