Question

$A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\-3&5&-1\\\end{array}\right]$
$B=\left[\begin{array}{ccc}2&4\\1&5\\0&7\end{array}\right]$
$C=\left[\begin{array}{ccc}12&1\\9&5\\\end{array}\right]$


a) A .B +3C^t

b) C . A

Answer 1

Temos as matrizes:

$\begin{array}{l}\sf A=\begin{bmatrix}\sf1&\sf2&\sf3\\\sf-3&\sf5&\sf-1\end{bmatrix}\\\\\sf B=\begin{bmatrix}\sf2&\sf4\\\sf1&\sf5\\\sf0&\sf7\end{bmatrix}\\\\\sf C=\begin{bmatrix}\sf12&\sf1\\\sf9&\sf5\end{bmatrix}\end{array}$

Com elas, devemos efetuar as operações em expressões de cada alternativa:

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Letra A)

$\begin{array}{l}\sf A\cdot B+3C^t\\\\\sf \begin{bmatrix}\sf1&\sf2&\sf3\\\sf-3&\sf5&\sf-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\sf2&\sf4\\\sf1&\sf5\\\sf0&\sf7\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}\sf12&\sf1\\\sf9&\sf5\end{bmatrix}^t\\\\\end{array}$

Primeiro, vamos efetuar o produto entre as matrizes A e B.

Neste caso, é possível pois para isso ocorrer uma matriz deve ter o número de colunas igual ao número de linhas da outra matriz. Veja que:

• Matriz A = 2x3 → 3 colunas
• Matriz B = 3x2 → 3 linhas
• Logo → 3 = 3

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Agora para efetuá-lo, em uma linha multiplique cada elemento da matriz A por cada elemento da coluna da matriz B:

$\begin{array}{l}\sf\begin{bmatrix}\sf1\cdot2+2\cdot1+3\cdot0&\sf1\cdot4+2\cdot5+3\cdot7\\\sf-3\cdot2+5\cdot1-1\cdot0&\sf-3\cdot4+5\cdot5-1\cdot7\end{bmatrix}\\\\\begin{bmatrix}\sf2+2+0&\sf4+10+21\\\sf-6+5-0&\sf-12+25-7\end{bmatrix}\\\\\begin{bmatrix}\sf4&\sf35\\\sf-1&\sf6\end{bmatrix}\\\\\end{array}$

Assim então, voltando para a expressão temos que:

$\begin{array}{l}\sf\begin{bmatrix}\sf4&\sf35\\\sf-1&\sf6\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}\sf12&\sf1\\\sf9&\sf5\end{bmatrix}^t\\\\\end{array}$

Veja que precisamos obter a matriz transposta de C [ Cᵗ ]. Para isso, as linhas dessa matriz vão se tornar colunas na transposta:

$\begin{array}{l}\sf\begin{bmatrix}\sf4&\sf35\\\sf-1&\sf6\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}\sf12&\sf9\\\sf1&\sf5\end{bmatrix}\\\\\end{array}$

Agora podemos multiplicar 3 por cada elemento:

$\begin{array}{l}\begin{bmatrix}\sf4&\sf35\\\sf-1&\sf6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sf3\cdot12&\sf3\cdot9\\\sf3\cdot1&\sf3\cdot5\end{bmatrix}\\\\\sf\begin{bmatrix}\sf4&\sf35\\\sf-1&\sf6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sf36&\sf27\\\sf3&\sf15\end{bmatrix}\\\\\end{array}$

Por fim nos resta somar as matrizes. É possível pois o número de linhas e colunas das matrizes tem que ser iguais, e como vemos nessa soma obedece a condição.

Assim para efetuá-la some cada elemento de uma matriz com o elemento respectivo da outra:

$\begin{array}{l}\begin{bmatrix}\sf4+36&\sf35+27\\\sf-1+3&\sf6+15\end{bmatrix}\\\\\sf\begin{bmatrix}\sf40&\sf62\\\sf2&\sf21\end{bmatrix}\\\\\end{array}$

Portanto essa é a resposta:

$\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf A\cdot B+3C^t=\begin{bmatrix}\sf40&\sf62\\\sf2&\sf21\end{bmatrix}\\\\\end{array}}}$

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Letra B)

$\begin{array}{l}\sf C\cdot A\\\\\sf\begin{bmatrix}\sf1&\sf2&\sf3\\\sf-3&\sf5&\sf-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\sf12&\sf1\\\sf9&\sf5\end{bmatrix}\\\\\end{array}$

Nesse caso veja que o número de colunas da matriz A é diferente do número de linhas da matriz C:

• Matriz A = 2x3 → 3 colunas
• Matriz C = 2x2 → 2 linhas
• Logo → 3 ≠ 2

Portanto, não é possível multiplicar as matrizes. Assim a solução é indefinida.

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Att. Nasgovaskov

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