Question

${2}^{x} - 3 > {2}^{2 - x}$

Answer 1

Para resolver a inequação

$2^x-3>2^{2-x},$

podemos começar por multiplicar ambos os lados da desigualdade por $2^x$.

Como se trata de uma quantidade positiva, o sentido da desigualdade é o mesmo:

$2^x \times 2^x - 3 \times 2^x > 2^{2-x} \times 2^x \iff (2^{x})^2 - 3\times 2^x > 2^{2-x+x} \iff$

$\iff (2^x)^2 - 3 \times 2^x > 2^2 \iff (2^x)^2 - 3 \times 2^x -4 > 0.$

Agora, fazemos a mudança de variável $y = 2^x$, donde se obtém:

$y^2 -3y - 4 >0.$

A parábola de equação $y^2-3y-4$ tem os seguintes zeros:

$y^2-3y-4=0 \iff (y-4)(y+1) = 0 \iff y \in \{-1,4\}.$

Por outro lado, o coeficiente de $y^2$ é positivo, pelo que a concavidade está voltada para cima. Portanto, a parábola toma valores positivos no intervalo:

$]-\infty, -1[ \cup ]4,\infty[.$

No entanto, como $y = 2^x > 0$, apenas estaremos interessados no intervalo $]4, \infty[$.

Retomando a desigualdade, tem-se:

$y^2 -3y - 4 >0\underset{y>0}{\iff} y > 4 \iff 2^x > 4 \iff 2^x > 2^2 \iff x > 2.$

Assim, obtém-se:

$2^x-3>2^{2-x} \iff x > 2.$