Question

$2 ^{|x+2|}-| 2 ^{x+1} -1 |= 2 ^{x+1} + 1$

Answer 1

Talvez este não seja o caminho mais curto, mas foi como consegui resolver a equação dada:

$2^{|x+2|}-|2^{x+1}-1|=2^{x+1}+1$


Vamos reorganizar convenientemente os termos da equação:

$2^{|x+2|}-\left|\frac{1}{2}\cdot 2^{x+2}-1\right|=\frac{1}{2}\cdot 2^{x+2}+1$


Vamos resolver a equação acima por partes:

$\bullet\;\;$ Parte 1. Para $x \geq -2:$

$\Rightarrow\;\;|x+2|=x+2$


Então, temos que resolver

$2^{x+2}-\left|\frac{1}{2}\cdot 2^{x+2}-1\right|=\frac{1}{2}\cdot 2^{x+2}+1$


Fazendo a mudança de variável

$2^{x+2}=y\;\;\;\;(y>0)$


temos

$y-\left|\frac{1}{2}\cdot y-1\right|=\frac{1}{2}\cdot y+1\\ \\ y-\frac{1}{2}\cdot y-1=\left|\frac{1}{2}\cdot y-1\right|\\ \\ \frac{1}{2}\cdot y-1=\left|\frac{1}{2}\cdot y-1\right|$


Para que a última igualdade acima seja satisfeita, basta termos

$\frac{1}{2}\cdot y-1\geq 0\\ \\ \frac{1}{2}\cdot y\geq 1\\ \\ y\geq 2\\ \\ \\ 2^{x+2}\geq 2\\ \\ x+2\geq 1\\ \\ x\geq 1-2\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}x\geq -1 \end{array}}$


A solução para o primeiro caso é

$S_{1}=[-1;\,+\infty)$


$\bullet\;\;$ Parte 2. Para $x < -2:$

$\Rightarrow\;\;|x+2|=-(x+2)$


Então, temos que resolver

$2^{-(x+2)}-\left|\frac{1}{2}\cdot 2^{x+2}-1\right|=\frac{1}{2}\cdot 2^{x+2}+1\\ \\ (2^{x+2})^{(-1)}-\left|\frac{1}{2}\cdot 2^{x+2}-1\right|=\frac{1}{2}\cdot 2^{x+2}+1$


Fazendo a mesma mudança de variável feita na parte 1, temos

$y^{-1}-\left|\frac{1}{2}\cdot y-1\right|=\frac{1}{2}\cdot y+1\\ \\ y^{-1}-\frac{1}{2}\cdot y-1=\left|\frac{1}{2}\cdot y-1\right|$


Como $y>0,$ vamos multiplicar os dois lados da equação acima por $2y:$

$2-y^{2}-2y=2y\cdot \left|\frac{1}{2}\cdot y-1\right|$


Como $2y>0,$ temos que $2y=|2y|.$ Então,

$2-y^{2}-2y=|2y|\cdot \left|\frac{1}{2}\cdot y-1\right|\\ \\ 2-y^{2}-2y=\left|2y\left(\frac{1}{2}\cdot y-1 \right )\right|\\ \\ 2-y^{2}-2y=|y^{2}-2y|\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Para que exista um $y$ que satisfaça a equação $\mathbf{(i)},$ devemos ter também a seguinte restrição (condição de existência do módulo):

$2-y^{2}-2y\geq 0\\ \\ y^{2}+2y-2\leq 0\\ \\ y^{2}+2y+1-3\leq 0\\ \\ (y+1)^{2}-3\leq 0\\ \\ (y+1)^{2}\leq 3\\ \\ \sqrt{(y+1)^{2}}\leq \sqrt{3}\\ \\ |y+1|\leq \sqrt{3}\\ \\ -\sqrt{3}\leq y+1 \leq \sqrt{3}\\ \\ -\sqrt{3}-1\leq y \leq \sqrt{3}-1\;\;\text{ e }\;\;y>0\\ \\ 0<y\leq \sqrt{3}-1\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Voltando à equação $\mathbf{(i)},$ respeitando a condição dada acima, temos

$2-y^{2}-2y=|y^{2}-2y|\\ \\ y^{2}-2y=\pm (2-y^{2}-2y)\\ \\ \begin{array}{rcl} y^{2}-2y=2-y^{2}-2y&\;\text{ ou }\;&y^{2}-2y=-(2-y^{2}-2y)\\ \\ y^{2}+y^{2}=2&\;\text{ ou }\;&y^{2}-2y=-2+y^{2}+2y\\ \\ 2y^{2}=2&\;\text{ ou }\;&2y+2y=2\\ \\ y^{2}=1&\;\text{ ou }\;&4y=2 \end{array}\\ \\ \\ \begin{array}{rcccl} y=1&\;\text{ ou }\;&y=-1&\;\text{ ou }\;&y=\frac{1}{2} \end{array}$


Como temos a restrição $\mathbf{(ii)},$ a única solução que satisfaz esta condição é

$y=\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\left(0<\frac{1}{2}\leq \sqrt{3}-1 \right )\\ \\ \\ 2^{x+2}=\frac{1}{2}\\ \\ 2^{x+2}=2^{-1}\\ \\ \\ x+2=-1\\ \\ x=-1-2\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}x=-3 \end{array}}$


A solução para este segundo caso é

$S=\{-3\}$


$\bullet\;\;$ O conjunto solução da equação dada inicialmente é

$S=S_{1}\cup S_{2}\\ \\ S=[-1;\,+\infty)\cup \{-3\}$


ou utilizando a notação usual, o conjunto solução é

$S=\{x \in \mathbb{R}\left|\,x=-3\;\text{ ou }\;x \geq -1\right.\}$