Question

$(0,3)^{x^{2} -2x-8} \geq 1$

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre inequações exponenciais.

Seja a inequação: $(0{,}3)^{x^2-2x-8}\geq1$.

Observe que a potência à esquerda da desigualdade tem base menor que $1$. Isto significa que, ao resolvermos a inequação, será necessário inverter o sinal de desigualdade.

Podemos reescrever $1$ como uma potência de base igual à esquerda: $1=(0{,}3)^0$.

Assim, teremos:

$(0{,}3)^{x^2-2x-8}\geq(0{,}3)^0$

Visto que as bases são iguais, porém aplicando a propriedade descrita ao início da solução, têm-se que:

$x^2-2x-8\leq0$

Para resolver esta inequação quadrática, considera-se o comportamento do gráfico da função nos intervalos definidos pela soluções da igualdade. Ou seja, primeiro, igualamos a equação a zero:

$x^2-2x-8=0$

Esta é uma equação quadrática de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$. Suas soluções são calculadas pela fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Substituindo seus coeficientes na fórmula, teremos:

$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{2\pm\sqrt{36}}{2}$

Calcule o radical, sabendo que $36=6^2$

$x=\dfrac{2\pm6}{2}$

Separe as soluções, some os valores e simplifique as frações

$x=\dfrac{2-6}{2}~~\bold{ou}~~ x=\dfrac{2+6}{2}\\\\\\\Rightarrow x=\dfrac{-4}{2}~~\bold{ou}~~ x=\dfrac{8}{2}\\\\\\\ \Rightarrow x=-2~~\bold{ou}~~ x=4~~\checkmark$

Então, observe o gráfico da equação quadrática. Percebe-se que se trata de uma parábola, cuja concavidade está voltada para cima e intersecta o eixo das abscissas em dois pontos.

O intervalo definido entre os pontos, ou seja, $-2\leq x\leq 4$, é aquele cujos valores da equação se torna negativo e, portanto, soluções da inequação desejada.

Dessa forma, conclui-se que as soluções para a inequação exponencial $(0{,}3)^{x^2-2x-8}\geq1$ pertencem ao conjunto solução:

$\boxed{\bold{S=\{x\in\mathbb{R}~|\,-2\leq x\leq 4\}}}$