Question

Teoria de Conjuntos.

Usando os conceitos de inclusão e união, mostre que dados dois conjuntos A e B,

se B ⊂ A, então A ∪ B = A.

Answer 1

Olá, Lukyo.


Dado: B ⊂ A, isto é, todo elemento x de B é elemento de A:

x ∈ B ⇒ x ∈ A

A união A ∪ B é o conjunto pelos elementos de A ou(lógico) B. Com isso, para um elemento qualquer a de A, devemos ter que:

 a ∈ A ∪ B.

Assim, todo elemento de A pertence à união, pois a é genérico. Assim, A está contido na união:

A ⊂ (A∪B)   (I)


Agora, analisemos a união. Para um elemento b ser da união, é preciso que:

[b ∈ (A ∪ B)]  ⇒  (b ∈ A)  ∨  (b ∈ B)

Entretanto, como mostrado no início, b ∈ B ⇒ b ∈ A. Assim, nossa proposição é:

(b ∈ A) ∨ (b ∈ A) ⇔ b ∈ A

Logo:

[b ∈ (A ∪ B)] ⇒ b ∈ A

Logo, todo elemento da união é elemento de A. Assim:

(A∪B) ⊂ A       (II)


De (I) e (II), vemos que A contém a união e está contida nessa. Isso só ocorre se os conjuntos forem iguais. Portanto:


A ∪ B = A        $\texttt{q.e.d}$