Question

TEOREMA DO PASSO DA MONTANHA FALHA SEM A CONDIÇÃO PALAIS SMALE.

A condição geométrica não é suficiente para garantir a existência de um ponto crítico c de um funcional Φ das hipóteses do teorema. MOSTRE UM EXEMPLO em que o teorema falha sem a condição de compacidade (PS)

Answer 1

Resposta:

Olá

Explicação passo-a-passo:

Excelente pergunta. De fato, uma condição de compacidade é necessária mesmo em casos de dimensão finita, como foi mostrado por Brezis e

Nirenberg (Leia: Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol XLIV) através do exemplo a seguir em R^2 onde a condição   Palais-Smale  não é satisfeita.

Vamos exibir um exemplo de em acordo com o enunciado da sua pergunta. Considere, Φ(x, y) =  $x^2+(x + 1)^3y^2$.  Vamos mostrar que tal funcional Φ não satisfaz a condição de Palais-Smale, e que, sendo (0, 0) o único ponto crítico  do funcional, o Teorema do passo da montanha falha.

Pois bem, como dito acima, se  (PS) é satisfeita então (PS)c é satisfeita para todo c em R, em particular para c > 0. Tome uma sequência  (xj , yj ) que cumpre com

$lim_j(x_j^2+(y_j+1)^3y_j^2=c>0$

$lim_j (2x_j + 3(x_j + 1)^2y_j^2) =0$

$lim_j 2 (x_j + 1)^3y_j = 0$

Disso iremos supor que

$lim_j (x_j , y_j ) = (x_0, y_0)\neq(0, 0).$

Considerando o limite acima, temos a seguinte contradição

$x_0^2 + (x_0 + 1)^3y^2 = c > 0$

$2x_0 + 3(x_0 + 1)^2y_0^2=0\\ 2(x_0 + 1)^3y_0 =0$

O que é um absurdo.

Bom estudo