Question

Teorama de newton ([√3+⅓]⁶+[√3-⅓]⁶) alguém consegue fazer?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá! então...

x= ([√3⅓]⁶+[√3-⅓]⁶)

x= (⁶√3)⁶+(⁶√3-¹)⁶

x= 3+3-¹

x= 3+1/3

x= (9+3)/3

x= 12/3

x= 4

Answer 2

Resposta:

$\frac{62048}{729}$

Explicação passo a passo:

Solucão 1 (binômio de Newton):

Os coeficientes dos desenvolvimentos de $(\sqrt{3}+\frac{1}{3}) ^{6}$ e $(\sqrt{3}-\frac{1}{3}) ^{6}$ são dados pelos binomiais da forma $\left(\begin{array}{ccc}6\\k\\\end{array}\right)$ onde k varia de 0 a 6.

Então, escrevendo os desenvolvimentos:

$(\sqrt{3}+\frac{1}{3}) ^{6} = \left(\begin{array}{ccc}6\\0\\\end{array}\right) . \sqrt{3} ^{6} + \left(\begin{array}{ccc}6\\1\\\end{array}\right) . \sqrt{3} ^{5}.\frac{1}{3} + \left(\begin{array}{ccc}6\\2\\\end{array}\right) . \sqrt{3} ^{4}.(\frac{1}{3})^{2} + \left(\begin{array}{ccc}6\\3\\\end{array}\right) . \sqrt{3} ^{3}.(\frac{1}{3})^{3} +$$\left(\begin{array}{ccc}6\\4\\\end{array}\right) . \sqrt{3} ^{2}.(\frac{1}{3})^{4} + \left(\begin{array}{ccc}6\\5\\\end{array}\right) . \sqrt{3} ^{1}.(\frac{1}{3})^{5} + \left(\begin{array}{ccc}6\\6\\\end{array}\right).(\frac{1}{3})^{6}$

O desenvolvimento de $(\sqrt{3}-\frac{1}{3})^{6}$ tem os mesmos termos, mas com sinais negativos quando k é ímpar. Logo, ao somarmos os dois desenvolvimentos, os termos de sinais contrários vão se anular e os termos em que k é par vão ficar duplicados.

Portanto, a soma dos desenvolvimentos pode ser escrita como:

$(\sqrt{3}+\frac{1}{3}) ^{6}+(\sqrt{3}-\frac{1}{3})^{6} =2. \left(\begin{array}{ccc}6\\0\\\end{array}\right) . \sqrt{3} ^{6} + 2.\left(\begin{array}{ccc}6\\2\\\end{array}\right) . \sqrt{3} ^{4}.(\frac{1}{3})^{2} + 2. \left(\begin{array}{ccc}6\\4\\\end{array}\right) . \sqrt{3} ^{2}.(\frac{1}{3})^{4} + 2. \left(\begin{array}{ccc}6\\6\\\end{array}\right).(\frac{1}{3})^{6}$

$(\sqrt{3}+\frac{1}{3}) ^{6}+(\sqrt{3}-\frac{1}{3})^{6} =2. \left(\begin{array}{ccc}6\\0\\\end{array}\right) . 27 + 2.\left(\begin{array}{ccc}6\\2\\\end{array}\right) . 9.\frac{1}{9} + 2. \left(\begin{array}{ccc}6\\4\\\end{array}\right) .3.\frac{1}{81} + 2. \left(\begin{array}{ccc}6\\6\\\end{array}\right).\frac{1}{729}$

$(\sqrt{3}+\frac{1}{3}) ^{6}+(\sqrt{3}-\frac{1}{3})^{6} =54. \left(\begin{array}{ccc}6\\0\\\end{array}\right) + 2.\left(\begin{array}{ccc}6\\2\\\end{array}\right) + \frac{2}{27}. \left(\begin{array}{ccc}6\\4\\\end{array}\right)+ \frac{2}{729} \left(\begin{array}{ccc}6\\6\\\end{array}\right)$

$(\sqrt{3}+\frac{1}{3}) ^{6}+(\sqrt{3}-\frac{1}{3})^{6} =54. \frac{6!}{6!0!} + 2.\frac{6!}{4!2!} + \frac{2}{27} .\frac{6!}{2!4!} + \frac{2}{729} .\frac{6!}{0!6!}$

$(\sqrt{3}+\frac{1}{3}) ^{6}+(\sqrt{3}-\frac{1}{3})^{6} =54 + 2.\frac{6.5}{2} + \frac{2}{27} .\frac{6.5}{2} + \frac{2}{729}$$(\sqrt{3}+\frac{1}{3}) ^{6}+(\sqrt{3}-\frac{1}{3})^{6} = 54 + 30 + \frac{10}{9} + \frac{2}{729} = 84 + \frac{812}{729} \\\\(\sqrt{3}+\frac{1}{3}) ^{6}+(\sqrt{3}-\frac{1}{3})^{6} = \frac{62048}{729}$

Solução 2 (fatoração):

Sendo:

$\sqrt{3} + \frac{1}{3} = a$   ,  $\sqrt{3} - \frac{1}{3} = b$

Temos que encontrar o valor de a⁶+b⁶, o que pode ser entendido como a soma dos cubos de a² e b²:

a⁶ = (a²)³

b⁶ = (b²)³

Ou seja, a⁶+b⁶ = (a²)³ + (b²)³. Ainda, a soma de cubos de dois termos pode ser escrita como:

x³+y³ = (x+y)³ - 3.xy.(x+y)

x³+y³ = (x+y) . [(x+y)² - 3xy]

Nesse caso, temos (para x = a² e y = b²):

a⁶+b⁶ = (a²)³ + (b²)³ = (a²+b²) . [(a²+b²)² - 3a²b²]  (i)

Agora, vamos calcular a², b² e os termos da expressão acima (i):

$a^{2} = (\sqrt{3} + \frac{1}{3})^{2} = \sqrt{3} ^{2} + 2.\sqrt{3} .\frac{1}{3} +(\frac{1}{3}) ^{2}\\a^{2} = 3+\frac{2\sqrt{3} }{3} + \frac{1}{9} = \frac{28}{9} +\frac{2\sqrt{3} }{3} \\b^{2} = (\sqrt{3} - \frac{1}{3})^{2} = \sqrt{3} ^{2} - 2.\sqrt{3} .\frac{1}{3} +(\frac{1}{3}) ^{2}\\ b^{2} = \frac{28}{9} -\frac{2\sqrt{3} }{3}$

Daí :

$a^{2} + b^{2} = \frac{28}{9} + \frac{2\sqrt{3} }{3} + \frac{28}{9} - \frac{2\sqrt{3} }{3} = \frac{56}{9} \\\\a^{2} .b^{2} = (\frac{28}{9} + \frac{2\sqrt{3} }{3}) .(\frac{28}{9} - \frac{2\sqrt{3} }{3})\\\\a^{2} .b^{2} = (\frac{28}{9})^{2} - (\frac{2\sqrt{3} }{3})^{2} = \frac{784}{81} - \frac{12}{9} \\\\a^{2} .b^{2} = \frac{784}{81} - \frac{108}{81} = \frac{676}{81}$

Substituindo em (i), temos:

a⁶+b⁶ = (a²+b²) . [(a²+b²)² - 3a²b²]  

$a^{6} +b^{6} = \frac{56}{9} . [(\frac{56}{9})^{2} - 3.\frac{676}{81}] \\\\a^{6} +b^{6} = \frac{56}{9} . (\frac{3136}{81} - \frac{2028}{81})\\\\ a^{6} +b^{6} = \frac{56}{9} . \frac{1108}{81} = \frac{62048}{729}$

$(\sqrt{3}+\frac{1}{3}) ^{6} + (\sqrt{3}-\frac{1}{3}) ^{6} = \frac{62048}{729}$

Espero ter ajudado :)