Question

tenta resolver a 1 e a 15

Answer 1

Fórmula de integração por partes:

$\displaystyle\int{f\,dg}=fg-\int{g\,df}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Geralmente a gente escolhe assim:

$f$ uma função que ao ser derivada fique mais simples (ou ao menos não mais complicada);

$dg$ o diferencial de uma função que fique mais simples ao ser integrada (ou ao menos não mais complicada).

A regra acima funciona em geral, mas não é sempre.


$\mathbf{1.~~}\displaystyle\int{xe^{-x}\,dx}$

Façamos a seguinte escolha para $f$ e $dg:$

$\begin{array}{lcl} f=x&\Rightarrow&df=dx\\ \\ dg=e^{-x}\,dx&\Rightarrow&g=\displaystyle\int{e^{-x}\,dx}=-e^{-x} \end{array}$


Substituindo na fórmula $\mathbf{(i)}$ de integração por partes, temos

$\displaystyle\int{xe^{-x}\,dx}=-xe^{-x}-\int{(-e^{-x})\,dx}\\ \\ \\ \int{xe^{-x}\,dx}=-xe^{-x}+\int{e^{-x}\,dx}\\ \\ \\ \int{xe^{-x}\,dx}=-xe^{-x}+(-e^{-x})+C\\ \\ \\ \int{xe^{-x}\,dx}=-xe^{-x}-e^{-x}+C\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int{xe^{-x}\,dx}=-(x+1)\,e^{-x}+C \end{array}}$


$\mathbf{15.~~}\displaystyle\int\limits_{-1}^{4}{\dfrac{x}{\sqrt{x+5}}\,dx}$


Forma 1. Integração por partes (fórmula para integral definida):

$\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\,dg}=fg|_ {a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{g\,df}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Façamos a seguinte escolha para $f$ e $dg:$

$\begin{array}{lcl} f=x&\Rightarrow&df=dx\\ \\ dg=\dfrac{1}{\sqrt{x+5}}\,dx&\Rightarrow&g=\displaystyle\int{\dfrac{1}{\sqrt{x+5}}\,dx}=2\,\sqrt{x+5}\end{array}$


Substituindo na fórmula $\mathbf{(ii)},$ temos

$\displaystyle\int\limits_{-1}^{4}{\dfrac{x}{\sqrt{x+5}}\,dx}=\left.2x\sqrt{x+5}\right|_{-1}^{~\,4}-\int\limits_{-1}^{4}{2\,\sqrt{x+5}\,dx}\\ \\ \\ =\left.2x\sqrt{x+5}\right|_{-1}^{~\,4}-2\int\limits_{-1}^{4}{\sqrt{x+5}\,dx}\\ \\ \\ =\left.2x\sqrt{x+5}\right|_{-1}^{~\,4}-2\cdot \left.\left(\dfrac{2}{3}\,(x+5)^{3/2} \right )\right|_{-1}^{~\,4}\\ \\ \\ =\left(2\cdot 4\sqrt{4+5}-2\cdot (-1)\sqrt{-1+5}\right)-\dfrac{4}{3}\left[(4+5)^{3/2}-(-1+5)^{3/2} \right ]\\ \\ \\ =\left(8\sqrt{9}+2\sqrt{4}\right)-\dfrac{4}{3}\left[9^{3/2}-4^{3/2} \right ]\\ \\ \\ =\left(8\cdot 3+2\cdot 2\right)-\dfrac{4}{3}\left[3^{3}-2^{3} \right ]\\ \\ \\ =\left(24+4\right)-\dfrac{4}{3}\left[27-8 \right ]\\ \\ \\ =28-\dfrac{4}{3}\cdot 19\\ \\ \\ =\dfrac{84}{3}-\dfrac{4\cdot 19}{3}$

$=\dfrac{84-76}{3}\\ \\ \\ =\dfrac{8}{3}$


Forma 2. Manipulação e substituição direta:

$\displaystyle\int\limits_{-1}^{4}{\dfrac{x}{\sqrt{x+5}}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-1}^{4}{\dfrac{x+5-5}{\sqrt{x+5}}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-1}^{4}{\dfrac{x+5}{\sqrt{x+5}}\,dx}+\int\limits_{-1}^{4}{\dfrac{-5}{\sqrt{x+5}}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-1}^{4}{\sqrt{x+5}\,dx}-5\int\limits_{-1}^{4}{\dfrac{1}{\sqrt{x+5}}\,dx}$


Substituição:

$x+5=u\;\;\Rightarrow\;\;dx=du$


Mudando os limites de integração:

$\text{Quando }x=-1\;\;\Rightarrow\;\;u=4\\ \\ \text{Quando }x=4\;\;\Rightarrow\;\;u=9$


Substituindo, a integral fica

$=\displaystyle\int\limits_{4}^{9}{\sqrt{u}\,du}-5\int\limits_{4}^{9}{\dfrac{1}{\sqrt{u}}\,du}\\ \\ \\ =\left.\dfrac{2}{3}\,u^{3/2}\right|_{4}^{9}-5\cdot \left.\left(2\sqrt{u} \right )\right|_{4}^{9}\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\left(9^{3/2}-4^{3/2} \right )-10\cdot (\sqrt{9}-\sqrt{4})\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\left(3^{3}-2^{3} \right )-10\cdot (3-2)\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\left(27-8 \right )-10\cdot 1\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\cdot 19-10\\ \\ \\ =\dfrac{2\cdot 19}{3}-\dfrac{30}{3}\\ \\ \\ =\dfrac{38-30}{3}\\ \\ \\ =\dfrac{8}{3}$