Question

Tenho, 4 Melões, 5 Bananas, 3 Goiabas, 1 Melancia e 10 Laranjas, tenho 2 sextas, para por essas frutas, de quantas maneiras posso guardar minhas frutas, sabendo que em cada sexta ficam 4 frutas?
.Sabendo que a Sexta 1 está cheia de melão e laranja, e a sexta 2 está com o resto das minhas frutas, pegando ao acaso 2 frutas da sexta 1 e 2 frutas da sexta 2, qual a probabilidade de pegar exatamente 2 melões e 2 Goiaba?

Answer 1

Olá Spawwn.



Na primeira questão precisamos calcular de quantas formas podemos organizar 23 frutas com um limite de 4 em cada cesta. Para essa questão precisamos trabalhar com conjuntos, já que a ordem não importa.

Calculando de quantas maneiras podemos organizar 23 frutas em uma cesta, temos:

$\mathsf{C_{23,4}=\dfrac{23!}{(23-4)!\cdot 4!}\Rightarrow \dfrac{23\cdot \diagup\!\!\!\!22\cdot\diagdown\!\!\!\!\!21\cdot\diagup\!\!\!\!\!20\cdot\diagup\!\!\!\!19!}{\diagup\!\!\!\!19!\cdot \diagup\!\!\!\!4\cdot\diagdown\!\!\!\!\!3\cdot\diagup\!\!\!2\cdot1}\Rightarrow 23\cdot11\cdot 7\cdot 5=8.885}$

Temos então que para organizar a primeira cesta, teremos 8.885 possibilidades!

Com a primeira cesta escolhida, teremos 19 frutas para distribuir na segunda cesta (23 - 4 = 21). 

Calculando as possibilidades da segunda cesta:

$\mathsf{C_{19,4}=\dfrac{19!}{(19-4)!\cdot 4!}\Rightarrow \dfrac{19\cdot\diagdown\!\!\!\!\!18\cdot17\cdot\diagup\!\!\!\!16\cdot\diagup\!\!\!\!15!}{\diagup\!\!\!\!15!\cdot \diagup\!\!\!\!\!4\cdot\diagdown\!\!\!\!\!3\cdot2\cdot1}=\dfrac{19\cdot6\cdot17\cdot\diagup\!\!\!\!4}{\diagup\!\!\!\!2}=3.876}$

Para a segunda temos 3.876 possibilidades! 

Multiplicando as possibilidades para conseguir o total:

 8.885 *  3.876 = 34.438.260

Temos então um total de 34.438.260 possibilidades para organizar 2 cesta com 4 frutas cada.

$\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}$


Sabendo que a primeira cesta está cheia de melões e laranjas, temos um total de : 4 + 10 = 14 frutas.

Já na segunda cesta teremos o restante: 23 - 14 = 9 frutas.


Sabendo que na primeira cesta possui 4 melões, a probabilidade para se conseguir 1 melão na primeira retirada é de:

4/14 = 2/7

Já  na segunda retirada teremos 1 fruta a menos, no caso o melão. Já na segunda retirada a probabilidade com 1 fruta a menos será de:

3/13 

Calculando a probabilidade de se pegar um melão na primeira cesta:

2/7 * 3/13 = 6/91


Já na segunda cesta temos 3 goiabas entre 9 frutas, portanto a probabilidade de se conseguir uma goiaba na primeira retirada é de:

3/9 = 1/3

Na segunda retirada teremos 1 fruta a menos, no caso a goiaba. Na segunda retirada a probabilidade de se conseguir uma goiaba é de:

2/8 = 1/4

Multiplicando as probabilidades de se conseguir 2 goiabas na segunda cesta é de:

1/3 * 1/4 = 1/12


Calculando a probabilidade de se conseguir 2 melões e 2 goiabas é de:

6/91 * 1/12 = 1/182


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