Question

Tenho 16 bolas, 10 boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que:
a) ambas seja perfeitas
b) pelo menos uma seja perfeita
c) nenhuma tenha defeito grave
d) nenhuma seja perfeita

Answer 1

Para essa questão teremos que o espaço amostral será composto por todas as combinações de 16 peças tomadas 2 a 2. Portanto:
$\#\Omega= C_{16,2}$

Calculando a combinação acima:
$C_{16,2}= \frac{16!}{2! \cdot (16-2)!} \\ \\ C_{16,2}= \frac{16 \cdot 15 \cdot \not14!}{2! \cdot \not14!} \\ \\ C_{16,2}= 120$

Portanto:
$\#\Omega= 120$

Agora passemos a analisar os eventos:

1- Ambas as peças sejam perfeitas:

Dentre todas as peças, temos que 10 estão em boas condições e, portanto, como queremos apenas 2 delas, teremos o seguinte evento:
$\#E_1= C_{10,2}$

Calculando a combinação acima:
$C_{10,2} = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} \\ \\ C_{10,2}= \frac{10 \cdot 9 \cdot \not8!}{2! \cdot \not8!} \\ \\ C_{10,2}= 45$

Portanto:
$\#E_1= 45$

A probabilidade que ambas sejam perfeitas será:
$P(E_1)= \frac{\#E1}{\#\Omega} \\ \\ P(E_1)= \frac{45}{120}$

Simplificando, teremos:
$\boxed{P(E_1)= \frac{3}{8}}$

2- Pelo menos uma seja perfeita:

Como pelo menos uma peça deve ser perfeita, não podemos assumir casos em que ambas as peças sejam defeituosas, portanto, encontrando quantas combinações resultam em apenas peças defeituosas:
$\#E_2= C_{6,2}$

Encontrando a combinação:
$C_{6,2}= \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} \\ \\ C_{6,2}= \frac{6 \cdot 5 \cdot \not4!}{2! \cdot \not4!} \\ \\ C_{6,2}= 15$

Sendo assim:
$\#E_2= 15$

A probabilidade de que não saia nenhuma peça boa será:
$P(E_2)= \frac{\#E_2}{\#\Omega} \\ \\ P(E_2)= \frac{15}{120}$

Simplificando:
$P({E_2})= \frac{1}{8}$

Perceba que o que estamos querendo corresponde ao complemento do evento acima, portanto, teremos a seguinte probabilidade para que pelo menos uma peça seja perfeita:
$P(E_2 ~^C)= 1-P(E_2) \\ \\ P(E_2 ~^C)= 1- \frac{1}{8} \\ \\ \boxed{P(E_2 ~^C)= \frac{7}{8}}$

3- Nenhuma delas tenha defeito grave:

Como possuímos 2 peças com defeitos graves poderemos escolher dentre as outras 14 e fazermos grupos de 2, sendo assim, teremos a seguinte combinação:
$\#E_3= C_{14,2}$

Calculando a combinação:
$C_{14,2}= \frac{14!}{2! \cdot (14-2)!} \\ \\ C_{14,2}= \frac{14 \cdot 13 \cdot \not12!}{2! \cdot \not12!} \\ \\ C_{14,2}= 91$

Sendo assim:
$\#E_3= 91$

A probabilidade que nenhuma peça tenha defeito grave será:
$P(E_3)= \frac{\#E_3}{\#\Omega} \\ \\ \boxed{P(E_3)= \frac{91}{120}}$

4- Nenhuma seja perfeita:

Essa probabilidade já foi calculada anteriormente e pode ser encontrada da seguinte forma:
$\#E_4= C_{6,2}$

O valor dessa combinação será:
$C_{6,2}= \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} \\ \\ C_{6,2}= \frac{6 \cdot 5 \cdot \not4!}{2! \cdot \not4!} \\ \\ C_{6,2}= 15$

Portanto:
$\#E_4= 15$

Por fim, a probabilidade que nenhuma peça seja perfeita será:
$P(E_4)= \frac{\#E_4}{\#\Omega} \\ \\ P(E_4)= \frac{15}{120} \\ \\ \boxed{P(E_4)= \frac{1}{8}}$