Question

Tenha-se uma função f definida por
$f(x)=(\sin{x}+1)^x$

Determine o valor de
$f'\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$

Answer 1

O valor da derivada no ponto é

                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}f'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0\end{gathered}$

Aqui temos um caso um pouco diferente de derivada, onde temos uma função tanto no expoente quanto na base, ou seja

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = g(x)^{h(x)}\end{gathered}$

Pela propriedade do expoente no logaritmo

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ln (f(x)) = h(x)\ln (g(x))\end{gathered}$

Sabemos que exp(ln(x)) = x, portanto

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = e^{h(x)\ln g(x)}\end{gathered}$

Chegamos a conclusão

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{dx}f(x) = e^{h(x)\ln g(x)}\frac{d}{dx}\left[h(x)\ln g(x)\right]\end{gathered}$

Como dito algumas equações acima, f(x) = exp(h(x) ln(g(x)) = g(x)^h(x), então

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{dx}f(x) = g(x)^{h(x)}\frac{d}{dx}\left[h(x)\ln g(x)\right]\end{gathered}$

Agora que sabemos qual a regra de derivação, podemos aplicar ela, no nosso caso temos que g(x) = sin x + 1 e h(x) = x, logo

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{dx}f(x) =\left(\sin x + 1\right)^{x}\frac{d}{dx}\left[x\ln \left(\sin x + 1\right)\right]\end{gathered}$

Vamos avaliar então a derivada de $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{dx}\left[x\ln\left(\sin x + 1\right)\right] = \ln\left(\sin x + 1 \right)\frac{d}{dx}x + x\frac{d}{dx}\ln\left(\sin x + 1 \right) \end{gathered}$Logo temos em mais duas derivadas, uma composta e outras simples, sendo assim

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\frac{d}{dx}x = 1\\ \\\frac{d}{dx}\ln\left(\sin x + 1 \right) = \frac{\cos x}{\sin x + 1} \end{cases}\end{gathered}$

Substituindo chegamos no resultado final da derivada

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{dx}\left[x\ln\left(\sin x + 1\right)\right] = \ln\left(\sin x + 1 \right) + \frac{x\cos x}{\sin x + 1}\end{gathered}$

Logo temos a derivada de f

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{dx}f(x) =\left(\sin x + 1\right)^{x}\left(\ln\left(\sin x + 1\right) + \frac{x\cos x}{\sin x + 1} \right)\end{gathered}$

Agora vamos avaliar ela quando x = 3π/2.

      $\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{d}{dx}f\left(\frac{3\pi}{2}\right) =\left(\sin \left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1\right)^{\frac{3\pi}{2}}\left(\ln\left(\sin \left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1\right) + \frac{\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos \left(\frac{3\pi}{2}\right)}{\sin \left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1} \right)\\ \\\end{gathered} }$

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{dx}f\left(\frac{3\pi}{2}\right) =\frac{0}{0}\end{gathered}$

Ou seja, temos uma indeterminação, para isso teremos que aplicar um limite quando x -> 3π/2

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{x\to \frac{3}{2}\pi}\left(\sin x + 1\right)^{x}\left(\ln\left(\sin x + 1\right) + \frac{x\cos x}{\sin x + 1} \right)\end{gathered} }$

Podemos racionalizar colocar o denominador comum e aplicar a distributiva

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{x\to \frac{3}{2}\pi}\left(\sin x + 1\right)^{x}\ln\left(\sin x + 1\right)+\lim_{x\to \frac{3}{2}\pi} \left(\sin x + 1\right)^{x-1} x\cos x\end{gathered} }$

Agora temos dois limites a resolver, o da direita é imediato e vale zero, logo nosso limite se resume a apenas

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{x\to \frac{3}{2}\pi}\left(\sin x + 1\right)^{x}\ln\left(\sin x + 1\right)\end{gathered} }$

Podemos fazer uma substituição de variável, dizemos que (sin x + 1) = u, logo quando x -> 3π/2 implica que u -> 0

                                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{u \to 0^+}u^{\left(u+\frac{3\pi}{2}\right)}\ln\left(u\right)\end{gathered} }$

Separando os expoentes e aplicando a propriedade que o limite do produto é o produto dos limites

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{u \to 0^+}u^{u}\lim_{u \to 0^+}u^{\frac{3\pi}{2}}\ln\left(u\right)\end{gathered} }$

Temos dois limites famosos, um deles é

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{x \to 0^+}x^n\ln x = 0,\quad n > 0\end{gathered}$

A demonstração do limite acima pode ser feita através de L'Hôpital, e o outro limite é

                                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{x \to 0^+}x^x = 1\end{gathered}$

Esse limite pode ser obtido através de L'Hôpital também depois de algumas transformações algébricas.

Por fim

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{u \to 0^+}u^{u}\lim_{u \to 0^+}u^{\frac{3\pi}{2}}\ln\left(u\right) = 1\cdot 0 = 0\end{gathered} }$

Portanto

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{x\to \frac{3}{2}\pi}\left(\sin x + 1\right)^{x}\left(\frac{\left(\sin x + 1\right)\ln\left(\sin x + 1\right)+x\cos x}{\sin x + 1} \right) = 0\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.