Question

Temos 8 Cadeiras queremos distribuí-las em uma sala quadrada de quantas maneiras podemos fazer essa distribuição, sabendo disso de quantas maneiras 2 pessoas poderão sentar nessas cadeiras?

Answer 1

Olá Spawwn,


Como queremos dispor 8 cadeiras em uma sala quadrangular, teremos 4 opções para colocar em cada canto da sala.

Precisamos trabalhar então com combinação, já que a ordem não importa:
Cadeiras (a, b, c ,d) ---- (d, c, b, a)   ← A ordem não importa.

$\mathsf{C_{8,4}=\dfrac{8!}{(8-4)!4!}\Longleftrightarrow \dfrac{\diagdown\!\!\!\!8\cdot7\cdot\diagup\!\!\!\!6\cdot5\cdot\diagup\!\!\!\!4!}{\diagup\!\!\!\!4!\cdot \diagdown\!\!\!\!\!4\cdot\diagup\!\!\!\!3\cdot2\cdot1}\Longleftrightarrow\dfrac{2\cdot7\cdot\diagup\!\!\!\!2\cdot5}{\diagup\!\!\!\!2}=\boxed{\mathsf{70}}}$

Podemos então distribuir de 70 maneiras diferentes! 

Precisamos agora calcular de quantas maneiras possíveis podemos distribuir 2 pessoas em cada cadeira. 

Como já foi explicado antes, sala terá 4 cadeiras em cada canto, por tanto é necessário calcular quantas possibilidades 2 pessoas podem sentar em 4 cadeiras.

Resta agora saber se a ordem importa ou não:
(a, b , c , d) ⇔ (d, c, b, a) ← Uma pessoa sentada na primeira cadeira é 
                                              diferente dessa mesma pessoa sentada na 
                                              última cadeira.

Basta pensar em uma fila de por exemplo 2 pessoas. Ou você é o primeiro da fila ou é o segundo da fila, portanto a ordem importa.


Distribuindo 2 pessoas em 4 cadeiras:

$\mathsf{A_{4,2}=\dfrac{4!}{2!}\Longleftrightarrow \dfrac{4\cdot3\cdot\diagup\!\!\!\!2!}{\diagup\!\!\!\!2!}\Longleftrightarrow \boxed{\mathsf{12}}}$

Essas 2 pessoas poderão ser distribuídas de 12 maneiras diferentes!


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