Question

Temos 20 azulejos lado a lado em uma parede que serão pintados com cores na gama do azul e cores na gama do verde. Temos 3 cores na gama do azul e 4 cores na gama do verde (por exemplo, uma possível configuração para a pintura pode ser encontrada na ilustração abaixo). Resolva as seguintes questões: i. De quantas formas podemos pintar os azulejos garantindo ter 1 na gama do azul e 19 na gama do verde? ii. E se forem 2 na gama do azul e 18 na gama do verde? iii. E se forem 7 na gama do azul e 13 na gama do verde? iv. E no total, se não colocamos qualquer restrição quanto às quantidades de uma ou outra gama, quantas são as possíveis maneiras de pintar os azulejos?

Answer 1

Olá para resolver a questão vamos a aplicar análisis combinatoria, onde a fórmula de cálculo de uma combinação é a seguinte:

$C = \frac{n! }{s! * (n-s)!}$

Onde :

s = é o número de elementos escolhidos

n  = o número total de elementos 

Assim sabendo que temos 20 azulejos no total; então para determina:

1- De quantas formas podemos pintar os azulejos garantindo ter 1 na gama do azul e 19 na gama do verde?

Sabendo que o total de azulejos são 20, e que a configuração pedida seja, 
1 na  gama do azul, por defeto teremos 19 na gama do verde, assim


$C = \frac{20! }{1! * (20-1)!}$

$C = \frac{20! }{19!} = 20$ formas de pintar


2- Se forem 2 na gama do azul e 18 na gama do verde? 

$C = \frac{20! }{2! * (20-2)!}$

$C = \frac{20! }{36!} = 6,5 *10^{-24}$ formas


3- Se forem 7 na gama do azul e 13 na gama do verde? 

$C = \frac{20! }{7! * (20-7)!}$

$C = \frac{20! }{91!} = 1,8 * 10^{-122}$ formas de pintar


4- E no total, se não colocamos qualquer restrição quanto às quantidades de uma ou outra gama, quantas são as possíveis maneiras de pintar os azulejos

$C = n!$

$C = 20!$

$C = 2,43 * 10 ^{18}$ formas de pintar