Question

tem que esboça o gráfico e determina o período e a imagem. Alguém pode mim ajuda com esse cálculo ! ?​

Answer 1

Uma função cosseno é dada na forma:

$f(\alpha)~=~a.cos(p\,.\,\alpha~+~\theta)~+~b$

Neste modelo, temos:

$\rightarrow~a:~Amplitude~da~funcao;\\\\\rightarrow~b:~Deslocamento~vertical~em~relacao~ao~eixo~"x";\\\\\rightarrow~p=\frac{2\pi}{Periodo}\\\\\rightarrow~\theta:~Deslocamento~horizontal~em~relacao~ao~eixo~"y"$

Vamos então ver alguns exemplos antes de passarmos para a analise da função dada.

Estes exemplos serão feitos comparando-se com a função "original" f(x)=cos(x).

ex1.:

--> f(x) = 2.cos(x)

--> Essa função tem a = 2, ou seja, sua amplitude será o dobro da original.

--> No anexo1, em vermelho f(x)=cos(x) e em azul f(x)=2cos(x)

ex2.:

--> f(x) = cos(x) + 1

--> Essa função tem b = 1, ou seja, teremos um deslocamento vertical de uma unidade para cima (em relação ao eixo x).

--> No anexo2, em vermelho f(x)=cos(x) e em azul f(x)=cos(x)+1

ex3.:

--> f(x) = cos(2x)

--> Essa função tem p = 2, ou seja, um período modificado para T=2π/2=π.

--> No anexo3, em vermelho f(x)=cos(x) e em azul f(x)=cos(2x)

ex4.:

--> f(x) = cos(x+π)

--> Essa função tem θ = π, ou seja, teremos um deslocamento horizontal de valor π para esquerda (em relação ao eixo y).

--> No anexo4, em vermelho f(x)=cos(x) e em azul f(x)=cos(x+π)

Vamos agora a função solicitada.

Podemos ver que na função dada há duas modificações em relação a f(x)=cos(x).

Temos:

$\rightarrow~a~=~7\\\\\rightarrow~p~=~\frac{1}{3}$

Teremos então a amplitude 7 vezes maior que a original (1) e o período, como pode ser visto abaixo, 3 vezes maior.

$\dfrac{1}{3}~=~\dfrac{2\pi}{periodo}\\\\\\Periodo~=~3\,.\,2\pi\\\\\\\boxed{Periodo~=~6\pi}$

Este período maior pode ser visto como se estivéssemos "esticando" para os lados a função cos(x) e a amplitude maior como se estivéssemos "esticando" verticalmente.

No anexo5, temos a função cos(x) em vermelho e a função f(α) em azul.

Como podemos ver no grafico, a imagem da função é:

Im( f(α )  =  [-7 , 7]