Question

Tava precisando saber como resolver a função inversa das seguintes:

f(x)= −x^2 + 4x + 3

f(x) = (5+x)/(sqrt(x^2 - 3))

Obs: sqrt = Raiz quadrada

Answer 1

Note primeiramente que as funções só admitirão inversas locais pois não são bijetoras. Sendo assim, no caso da primeira, apenas teremos a inversa para o intervalo $x \geq -2$ e que

$f(x)= -x^{2} + 4x + 3 \Leftrightarrow f(x)= -(x-2)^{2}-1$

assim, como a composta de uma função com sua inversa é igual a identidade, temos

$f \circ f^{-1}(x) = x \Rightarrow -(f^{-1}(x)-2)^{2}-1 =x$

e assim

$(f^{-1}(x)-2)^{2} =-(x+1) \Rightarrow f^{-1}(x)= 2 + \sqrt{-(x+1)}$

E portanto

$f^{-1}(x)= 2 + \sqrt{-(x+1)}$

Procedendo de igual modo para o segundo caso, temos que só haverá inversa para $x > \sqrt3 \ \ (ou \ \ x < -\sqrt{3})$

Logo
$g(x) = \frac{5+x}{ \sqrt{x^2-3} } \Rightarrow g\circ g^{-1}(x) = x \Rightarrow \frac{5+g^{-1}(x)}{ \sqrt{{g^{-1}(x)}^2-3} } = x$

$\frac{5+g^{-1}(x)}{ \sqrt{{g^{-1}(x)}^2-3} } = x \Rightarrow$

$(5+g^{-1}(x))^2=x^2 ({g^{-1}(x)}^2-3) \Rightarrow$

$25 + 10g^{-1}(x) + (g^{-1}(x))^2=x^2{g^{-1}(x)}^2-3x^2$

Colocando $g^{-1}(x)$ em evidência teremos

$(x^2-1){g^{-1}(x)}^2-10g^{-1}(x)-3x^2-25=0$

e portanto

$g^{-1}(x)= \frac{10+\sqrt{100+(x^2-1)(3x^2+25)}}{2(x^2-1)}$