Question

Suponha que você trabalhe no setor de criação de novas peças em uma fábrica de cristais e foi encarregado de criar um novo vaso de cristal. Além da criação você deverá analisar o volume do vaso. Sabe-se que a nova peça será criada rotacionando, uma das funções a seguir, em torno do eixo y ou eixo x. - f(x) = x²+1 - f(x) = x - f(x) = x³ Além disso, será necessário que você determine a variação da largura ou altura do vaso. Assim você tem como tarefas: -Escolher uma das funções acima; - Determinar em qual eixo será a rotação; -Determinar quais são os limites de integração; -Calcular o volume.

Answer 1

O volume do vaso escolhido será de 8100,1 cm³.

Fazendo as escolhas, temos:

• Função: f(x) = x² + 1;
• Eixo de rotação: y;
• Altura do vaso: 25 cm;
• Largura do vaso: 10 cm;

A partir destes valores, temos que como faremos a rotação no eixo y, devemos escrever x como função de y, então:

x = √(y-1)

Dados altura e largura do vaso, temos que os limites de integração serão: x² ≤ y ≤ 26 e -5 ≤ x ≤ 5. O volume será dado pela integral:

$V = \int\limits^{5}_{-5} \int\limits^{26}_{x^2} {\pi f(y)^2} \, dydx$

Calculando, temos:

$V = \int\limits^{5}_{-5} \int\limits^{26}_{x^2} {\pi (y-1)} \, dydx\\V =\pi\int\limits^{5}_{-5} {\left(\dfrac{y^2}{2}-y\right)|^{26}_{x^2}} \, dx\\V=\pi\int\limits^{5}_{-5} {312- \dfrac{x^4}{2} + x^2} \, dx\\V = 2\pi\int\limits^{5}_{0} {312- \dfrac{x^4}{2} + x^2} \, dx\\\\V = 2\pi \left(312x- \dfrac{x^5}{10} + \dfrac{x^3}{3}\right)|^5_0\\\\V = 2\pi\left(1560 - 312,5 + 41,67\right)\\V = 8100,1\ cm^3$