Suponha que você esteja realizando um curso de verão e uma das disciplinas é a de Cálculo Diferencial e Integral. Para finalizar a disciplina o professor sugeriu que cada um escolhesse uma situação do cotidiano que pudesse ser explorado algum conteúdo de cálculo diferencial e integral. Diante disso, você decidiu estudar a variação de temperatura em um dia da sua cidade.
Ao analisar informações da temperatura em um dia você percebeu que a temperatura tem um crescimento até atingir um ponto máximo e depois há um decrescimento em alguns intervalos de tempo e em outros a temperatura tem um decrescimento até atingir um ponto de mínimo e depois há um crescimento da temperatura.
Além disso, você percebeu que esse fenômeno acontece geralmente no período de 08:00 às 20:00. Apesar de ser um fenômeno periódico você decidiu analisar o comportamento da temperatura no intervalo dado por meio de uma função polinomial do segundo grau, assim você deve encontrar qual a lei de formação da função que se ajusta aos dados obtidos por você e posteriormente realizar um estudo dessa função. Para realizar esse estudo você deve realizar as seguintes tarefas:
1)Como o objetivo é que você estude a variação de temperatura em um dia da sua cidade, você deve explicitar qual a sua cidade e estado e qual o dia você escolheu para fazer esse estudo.
2)Após determinar o dia e a cidade você deve buscar informações da temperatura ao longo do dia escolhido. Para isso você pode entrar no site Climatempo e obter informações. Como a sua tarefa é determinar a lei de formação de uma função do segundo grau que se ajusta aos dados da temperatura ao longo do dia, você deve escolher três temperaturas no período de 08:00 às 20:00 de tal forma que essas temperaturas mostrem o comportamento observado, isto é, um crescimento da temperatura e em seguida um decrescimento ou um decrescimento da temperatura e depois um crescimento.
3)Após escolher esses três pontos você deve substituí-los na função y(x) = ax² + b x + c, e realizar os procedimentos necessários para determinar os valores de a, b e c. Após determinar esse valor você terá uma função que descreve a temperatura em relação ao tempo em um dia.
4)Agora você terá que determinar qual a variação da temperatura em relação ao tempo. Para isso você deverá utilizar seus conhecimentos de cálculo diferencial e integral I.
5)Por fim você irá verificar se o ponto máximo ou mínimo da função corresponde com a temperatura máxima ou mínima real no intervalo observado. Para isso você deve encontrar o ponto de máximo ou mínimo da função encontrada utilizando o teste da primeira ou da segunda derivada. Após encontrar esse valor compare com a temperatura máxima que foi atingida no período estudado e no dia estudado. Os valores são próximos? São iguais? São muito distantes?
Não esqueça de justificar todas as suas respostas.
Soluções para a tarefa
Resposta:
(0,20); (18,0); (12,12)
3)Após escolher esses três pontos você deve substituí-los na função y(x) = ax² + bx + c, e realizar os procedimentos necessários para determinar os valores de a, b e c. Após determinar esse valor você terá uma função que descreve a temperatura em relação ao tempo em um dia.
(0,20)
20=02.a+0.b+c
c=20
(18,0)
0=182.a+18b+20
324a+18b=-20
(12,12)
12=122.a+12.b+20
144.a+12b=8
144.a+12.b-8=324.a+18b+20
180.a+6.b-28=0
raízes:
599raiz/360
e
-599raiz/30
4)Agora você terá que determinar qual a variação da temperatura em relação ao tempo. Para isso você deverá utilizar seus conhecimentos de cálculo diferencial e integral I.
Resultados acima
5)Por fim você irá verificar se o ponto máximo ou mínimo da função corresponde com a temperatura máxima ou mínima real no intervalo observado. Para isso você deve encontrar o ponto de máximo ou mínimo da função encontrada utilizando o teste da primeira ou da segunda derivada. Após encontrar esse valor compare com a temperatura máxima que foi atingida no período estudado e no dia estudado.
Os valores são próximos? Não;
São iguais? Não;
São muito distantes? Sim;
Espero ter ajudado