Matemática, perguntado por jenilsonvieiramagalh, 5 meses atrás

Suponha que você começou a estagiar em uma empresa produtora de vários componentes elétricos e mecânicos, sendo uma importante fornecedora para outras empresas brasileiras. Suas primeiras atividades como estagiária(o) foram relacionadas a análises de demandas de produção da empresa, juntamente com a Assessoria Industrial.
Determinado dia, trabalhando com dados em planilhas, você computou os rendimentos de quatro grandes vendas:
A primeira de R$ 1.654.500,00, a segunda de R$ 1.641.750,00, a terceira de R$ 1.402.500,00 e a última de R$ 3.309.000,00, sendo que em cada venda, apenas os produtos A, B e C estariam presentes.
As quantidades de cada produto em cada venda foram:
- Primeira: Produto A = 8.000, Produto B = 10.000 e Produto C = 15.000;
- Segunda: Produto A = 12.500, Produto B = 13.000 e Produto C = 11.000;
- Terceira: Produto A = 15.000, Produto B = 15.000 e Produto C = 5.000;
- Quarta: Produto A = 16.000, Produto B = 20.000 e Produto C = 30.000.

Infelizmente, você não conseguiu encontrar os preços unitários de cada produto e, estando sozinho e no final do seu expediente, precisava terminar os preenchimentos de outras planilhas que precisavam dessas quantidades.
Como você pode perceber, esse problema pode ser solucionado por meio do uso dos conceitos de Sistemas de Equações Lineares. Dessa forma, responda:

a) Qual o conjunto de equações lineares formado?

b) Qual a matriz dos coeficientes?

c) Calcule e apresente os cálculos do determinante da matriz dos coeficientes.

d) Resolva o sistema de equações lineares utilizando o Método de Cramer, calculando os determinantes das matrizes pelo Método de Sarrus, e indicando os preços unitários.

e) Se a quantidade vendida em determinado pedido fosse de 5.000 produtos de cada tipo (A, B e C), qual seria o valor da venda?

Soluções para a tarefa

Respondido por steniohmsilva

a) Formou o conjunto de equações lineares abaixo:

$\left\{\begin{array}{lIll}8.000A + 10.000B+15.000C = 1.654.500\\12.500A + 13.000B + 11.000C =1.641.750\\15.000A+15.000B + 5.000C = 1.402.500\\16.000A+20.000B + 30.000C = 3.309.000\end{array}\right$

b) A matriz de coefiecientes formada por esse sistema é:

$M = \left[\begin{array}{cccc}8.000&12.500&15.000\\12.500&13.000&11.000\\15.000&15.000&5.000\\16.000&20.000&30.000\end{array}\right]$

c) O determinante da matriz é D = 225.000

d) Os preços unitários dos produtos são:

A = R$23,50
B = R$48,10
C = R$65,70

e) Se for vendido 5.000 unidades de cada produto, o valor da venda é R$686.500,00

Regra de Sarrus

Só podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada, sendo assim, precisamos deixar a matriz de coeficientes como uma matriz quadrada, ou seja, com mesmo número de linhas e colunas. Para isso, eliminaremos a primeira linha.

$M = \left[\begin{array}{cccc}12.500&13.000&11.000\\15.000&15.000&5.000\\16.000&20.000&30.000\end{array}\right]$

Agora, podemos calcular o determinante da matriz utilizando a Regra de Sarrus. Para isso, vamos primeiro reescrever as duas primeiras colunas da matriz ao lado dela.

$\left|\begin{array}{cccc}12.500&13.000&11.000\\15.000&15.000&5.000\\16.000&20.000&30.000\end{array}\right| \left|\begin{array}{cccc}12.500&13.000\\15.000&15.000\\16.000&20.000\end{array}\right|$

Agora, vamos multiplicar as diagonais principais formadas e somá-las:

(12500 * 15000 * 30000) + (13000 * 5000 * 16000) + (11000 * 15000 * 20000)

5625 + 1040 + 3300

9965

Faremos o mesmo passo para as diagonais secundárias:

(11000 * 15000 * 16000) + (12500 * 5000 * 20000) + (13000 * 15000 * 30000)

2640 + 1250 + 5850

9740

Agora, subtraimos o valor das diagonais principais pelo valor das diagonais secundárias:

D = 9965 - 9740

D = 225

Como dividimos tudo por 1000 para facilitar os cálculos, devemos multiplicar por 1000 novamente o resultado final. Sendo assim:

D = 225.000

Método de Cramer

Para resolver pelo método de Cramer, devemos substituir as colunas pelos termos independentes e calcular o determinante da matriz dessa forma, posteriormente, dividimos os valores de determinantes encontrados nas substituições pelo determinante da matriz original:

Substitui na matriz a primeira coluna pelos termos independentes para encontrar o Da:

$\left|\begin{array}{cccc}1.641.750&13.000&11.000\\1.402.500&15.000&5.000\\3.309.000&20.000&30.000\end{array}\right| \left|\begin{array}{cccc}1.641.750&13.000\\1.402.500&15.000\\3.309.000&20.000\end{array}\right|$

Da = (1641750 * 15000 * 30000) + (13000 * 5000 * 3309000) + (11000 * 1402500 * 20000) - (11000 * 15000 * 3309000) - (1641750 * 5000 * 20000) - (13000 * 1402500 * 30000)

Da = 738787,5 + 215085 + 308550 - 545985 - 164175 - 546975

Da = 5287,5

Da = 5.287.500

Substitui na matriz a segunda coluna pelos termos independentes para encontrar o Db:

$\left|\begin{array}{cccc}12.500&1.641.750&11.000\\15.000&1.402.500&5.000\\16.000&3.309.000&30.000\end{array}\right| \left|\begin{array}{cccc}12.500&1.641.750\\15.000&1.402.500\\16.000&3.309.000\end{array}\right|$

Db = (12500 * 1402500 * 30000) + (1641750 * 5000 * 16000) + (11000 * 15000 * 3309000) - (11000 * 1402500 * 16000) - (12500 * 5000 * 3309000) - (1641750 * 15000 * 30000)

Db = 525937,5 + 131340 + 545985 - 246840 - 206812,5 - 738787,5

Db = 10.822.500

Substitui na matriz a terceira coluna pelos termos independentes para encontrar o Dc:

$\left|\begin{array}{cccc}12.500&13.000&1.641.750\\15.000&15.000&1.402.500\\16.000&20.000&3.309.000\end{array}\right| \left|\begin{array}{cccc}12.500&13.000\\15.000&15.000\\16.000&20.000\end{array}\right|$

Dc = (12500 * 15000 * 3309000) + (13000 * 1402500 * 16000) + (1641750 * 15000 * 20000) - (1641750 * 15000 * 16000) - (12500 * 1402500 * 20000)- (13000 * 15000 * 3309000)

Dc = 620.437,5 + 291720 + 492525 - 394020 - 350625 - 645255

Dc = 14.782.500

Agora, vamos dividir os determinantes Da, Db e Dc pelo determinante D da matriz e encontraremos os valores a, b e c: