Question

Suponha que você começou a estagiar em uma empresa produtora de vários componentes elétricos e mecânicos, sendo uma importante fornecedora para outras empresas brasileiras. Suas primeiras atividades como estagiária(o) foram relacionadas a análises de demandas de produção da empresa, juntamente com a Assessoria Industrial.
Determinado dia, trabalhando com dados em planilhas, você computou os rendimentos de quatro grandes vendas:
A primeira de R$ 1.654.500,00, a segunda de R$ 1.641.750,00, a terceira de R$ 1.402.500,00 e a última de R$ 3.309.000,00, sendo que em cada venda, apenas os produtos A, B e C estariam presentes.

As quantidades de cada produto em cada venda foram:
- Primeira: Produto A = 8.000, Produto B = 10.000 e Produto C = 15.000;
- Segunda: Produto A = 12.500, Produto B = 13.000 e Produto C = 11.000;
- Terceira: Produto A = 15.000, Produto B = 15.000 e Produto C = 5.000;
- Quarta: Produto A = 16.000, Produto B = 20.000 e Produto C = 30.000.

a) Qual o conjunto de equações lineares formado?

b) Qual a matriz dos coeficientes?

c) Calcule e apresente os cálculos do determinante da matriz dos coeficientes.

d) Resolva o sistema de equações lineares utilizando o Método de Cramer e calculando os determinantes das matrizes pelo Método de Sarrus, indicando os preços unitários.

e) Se a quantidade vendida em determinado pedido fosse 5.000 produtos de cada tipo (A, B e C), qual seria o valor da venda?

Answer 1

a) O conjunto de equações lineares formados é um sistema linear da seguinte forma contendo:

$\left\{\begin{array}{lIll} 8.000A + 10.000B + 15.000C = 1.654.500\\12.500A + 13.000B + 11.000C = 1.641.750\\15.000A + 15.000B + 5.000C = 1.402.500\\ 16.000A + 20.000B + 30.000C = 3.309.000 \end{array}\right$

b) A matriz de coeficientes desse sistema ficará da seguinte forma:

$\left[\begin{array}{cccc}8.000&10.000&15.000\\12.500&13.000&11.000\\15.000&15.000&5.000\\16.000&20.000&30.000\end{array}\right]$

c) O determinante da matriz é D =  225.000

d) Os preços unitários cada produto é A = R$23,50, B=R$48,10 e C=65,83.

e) Se a quantidade vendida em cada tipo fosse 5.000 o valor da venda seria R$686.500,00

Regra de Sarrus

Só é possível calcular o determinante de uma matriz quadrada, por isso, vamos excluir uma linha da matriz. Vamos deixar somente as três últimas equações no sistema. Dessa forma, a matriz fica:

$\left[\begin{array}{cccc}12.500&13.000&11.000\\15.000&15.000&5.000\\16.000&20.000&30.000\end{array}\right]$

$\left|\begin{array}{ccc}12.500&13.000&11.000\\15.000&15.000&5.000\\16.000&20.000&30.000\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}12.500&13.000\\15.000&15.000\\16.000&20.000\end{array}\right|$

D = (12500 * 15000 * 30000) + (13000 * 5000 * 16000) + (11000 * 15000 * 20000) - (11000 * 15000 * 16000) - (12500 * 5000 * 20000) - (13000 * 15000 * 30000)

D =  5625 + 1040 + 3300 - 2640 - 1250 - 5850

D = 225.000

Método de Cramer

Para resolver pelo método de Cramer, devemos fazer os seguintes passos:

• Substituimos na matriz, a primeira coluna pelos termos independentes e calculamos o determinante Da pela regra de Sarrus:  

$\left|\begin{array}{ccc}1.641.750&13.000&11.000\\1.402.500&15.000&5.000\\3.309.000&20.000&30.000\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}1.641.750&13.000\\1.402.500&15.000\\3.309.000&20.000\end{array}\right|$

Da = (1641750 * 15000 * 30000) + (13000 * 5000 * 3309000) + (11000 * 1402500 * 20000) - (11000 * 15000 * 3309000) - (1641750 * 5000 * 20000) - (13000 * 1402500 * 30000)

Da = 738787,5 + 215085 + 308550 - 545985 - 164175 - 546975

Da =  5287,5

Da = 5.287.500

• Subsituimos na matriz, a segunda coluna pelos termos independentes e calculamos o determinante Db:

$\left|\begin{array}{ccc}12.500&1.641.750&11.000\\15.000&1.402.500&5.000\\16.000& 3.309.000&30.000\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}12.500&1.641.750\\15.000&1.402.500\\16.000& 3.309.000\end{array}\right|$

Db = (12500 * 1402500 * 30000) + (1641750 * 5000 * 16000) + (11000 * 15000 * 3309000) - (11000 * 1402500 * 16000) - (12500 * 5000 * 3309000) - (1641750 * 15000 * 30000)

Db = 525937,5 + 131340 + 545985 - 246840 - 206812,5 - 738787,5

Db = 10.822.500

• Subsituimos na matriz, a terceira coluna pelos termos independentes e calculamos o determinante Dc:

$\left|\begin{array}{ccc}12.500&13.000&1.641.750\\15.000&15.000& 1.402.500\\16.000&20.000&3.309.000\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}12.500&13.000\\15.000&15.000\\16.000&20.000\end{array}\right|$

Dc = (12500 * 15000 * 3309000) + (13000 * 1402500 * 16000) + (1641750 * 15000 * 20000) - (1641750 * 15000 * 16000) - (12500 * 1402500 * 20000)- (13000 * 15000 * 3309000)

Dc = 620437,5 + 291720 + 492525 - 394020 - 350625 - 645255

Dc = 14.812.500

Por fim, dividimos os determinantes Da, Db e Dc pelo determinante D encontrado na letra c e acharemos o valor de a, b e c:

• a = Da / D = 5.287.500 / 225.000 = 23,5
• Db / D = 10.822.500 / 225.000 = 48,1
• Dc / D = 14.812.500 / 225.000 = 65,7

Para determinar o valor se 5000 pedidos de cada fosse vendido, basta fazer:

5000A + 5000B + 5000C = X

5000 * 23,5 + 5000 * 48,10 + 5000 * 65,7 = X

117500 + 240500 + 328500 = x

x = 686.500

Para mais exercícios sobre determinantes acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/4055210

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