Question

Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição descrita pela função quadrática h(t) = –2t² + 10t, em que h é a altura dada em centímetros e t é o tempo dado em segundos. Ao iniciar seu salto, qual a altura máxima que esse grilo poderá atingir e após quantos segundos ele retornará ao chão?

Answer 1

Olá!

Antes de tudo, precisamos interpretar o problema:

• A altura máxima que o grilo pode atingir é o ponto mais alto do gráfico. Como trata-se de uma função polinomial do segundo grau, queremos o vértice da parábola. Como $\color{Red} a \color{Black} < 0$, o vértice descreve o ponto máximo do gráfico.

• O grilo retornará ao chão quando $\color{Orange} h(t) = 0$, pois somente assim sua distância até o solo será nula. Isso quer dizer que queremos uma raiz da função que anule a equação. OBS: perceba que teremos duas raízes, então temos que considerar aquela que satisfaz o enunciado.

Primeiramente, vamos encontrar os coeficientes da equação, pois precisaremos deles para encontrar o vértice.

Encontrando os coeficientes da equação:

→ Em uma equação quadrática na forma geral...

$\color{Red} a \color{Black} x^2 + \color{Green} b \color{Black} x + \color{Orange} c$

... os coeficientes são dados por $\color{Red} a \color{Black}, \, \color{Green} b \color{Black}, \, \color{Orange} c$.

Analisando os coeficientes da equação $\color{Red} - 2 \color{Black} t^2 + \color{Green} 10 \color{Black} t$, podemos concluir que:

$\fbox{\fbox{ \color{Red} a \color{Black} = -2 }}$

$\fbox{\fbox{ \color{Green} b \color{Black} = 10 }}$

$\fbox{\fbox{ \color{Orange} c \color{Black} = 0 }}$

Encontrando o vértice da parábola:

→ As coordenadas do vértice da parábola são dados por:

$\fbox{\fbox{ \color{Red} x_v \color{Black} = - \frac{\color{Green} b \color{Black}}{2 \color{Red} a} }}$

$\fbox{\fbox{ \color{Purple} y_v \color{Black} = - \frac{\color{Blue} \Delta \color{Black}}{4 \color{Red} a} }}$

Lembrando que $\color{Blue} \Delta \color{Black} = \color{Green} b^{\color{Black}2} \color{Black} - 4 \color{Red} a \color{Orange} c$

→ Substituindo $\color{Red} a \color{Black}, \, \color{Green} b \color{Black}, \, \color{Orange} c$ por seus respectivos valores, temos:

$\color{Red} x_v \color{Black} = - \frac{\color{Green} 10 \color{Black}}{2 \color{Red} (-2)} =$

$\color{Red} x_v \color{Black} = - \frac{\color{Green} 10 \color{Black}}{\color{Red} -4} =$

$\color{Red} x_v \color{Black} = \frac{\color{Green} 10 \color{Black}}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$

-------------------------------

$\color{Blue} \Delta \color{Black} = \color{Green} 10^{\color{Black}2} \color{Black} - 4 \color{Red} (-2) \color{Orange} (0)$

$\color{Blue} \Delta \color{Black} = \color{Green} 100 \color{Black} - \color{Red} 0 = \color{Blue} 100$

-------------------------------

$\color{Purple} y_v \color{Black} = - \frac{\color{Blue} \Delta \color{Black}}{4 \color{Red} (-2)} =$

$\color{Purple} y_v \color{Black} = - \frac{\color{Blue} 100 \color{Black}}{\color{Red} -8} =$

$\color{Purple} y_v \color{Black} = \frac{\color{Blue} 100 \color{Black}}{8} = \frac{25}{2} = 12,5$

-------------------------------

Portanto, o vértice da parábola se encontra no ponto:

$( \color{Red} x_v \color{Black}, \, \color{Purple} y_v \color{Black} )$

$\fbox{\fbox{ ( \color{Red} 2,5 \color{Black}; \, \color{Purple} 12,5 \color{Black} ) }}$

Como $\color{Purple} y_v \color{Black} = 12,5$, a altura máxima que o grilo alcança é 12,5 cm.

OBS: perceba que não precisávamos calcular $\color{Red} x_v$, mas com isso podemos afirmar que o grilo alcança sua altura máxima após 2,5 segundos desde o início do salto.

Encontrando as raízes da equação:

→ Como o coeficiente $\color{Orange} c \color{Black} = 0$, temos uma equação quadrática incompleta que pode ser solucionada por fatoração.

Nesse caso, vamos fatorar o fator comum entre $\color{Red} - 2 \color{Black} t^2$ e $\color{Green} 10 \color{Black} t$.

$\color{Red} - 2 \color{Black} t^2 + \color{Green} 10 \color{Black} t$

$\color{Red} -2t \color{Black} (t \color{Green} -5 \color{Black} )$

Para encontrar as raízes, podemos igualar ambos os fatores a zero:

$-2\color{Red} t_1 \color{Black} = 0$

$\color{Red} t_1 \color{Black} = \frac{0}{-2}$

$\fbox{\fbox{ \color{Red} t_1 \color{Black} = 0 }}$

$\color{Green} t_2 \color{Black} -5 = 0$

$\fbox{\fbox{ \color{Red} t_2 \color{Black} = 5 }}$

Então nossas raízes são $0$ e $5$.

→ Agora precisamos escolher a raiz que satisfaz o enunciado:

• O grilo só retornará ao chão quando $\color{Orange} h(t) = 0$. Como $t = 0$ é o tempo inicial e a altura é nula ( $\color{Orange} h(0) \color{Black} = 0$), o grilo ainda não pulou nesse momento. Já em $t = 5$, ele chega ao solo após o salto.

Portanto, o grilo chega ao solo após 5 segundos.

Conclusão:

→ A altura máxima que o grilo pode alcançar é 12,5 cm. Isso acontece após 2,5 segundos desde o início do salto.

→ O grilo retorna ao solo após 5 segundos.

Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)