Question

Suponha que o número de casos de uma doença é reduzida no decorrer do tempo conforme a função?

f(t)=k*2^qt, sendo k e q constantes e o tempo t dado em anos determine:
a) as constantes k e q, sabendo que no instante t=0 existiam 2048 casos, e que após quatro anos o número de casos era a quarta parte do valor inicial;
b) o número de anos necessários para que o número de casos seja menor que 1, significando a eliminação total da doença.



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Answer 1

Temos a função $f(t) = k.2^{q.t}$

a) Dois dados foram fornecidos, para t=0 temos 2048 casos

para t=4 temos a quarta parte do inicial que é 2048/4 = 512

Podemos formar as seguintes equações

$2048 = k.2^{q.0}$ -> $2048 = k.2^{0}$ -> $\boxed{k=2048}$

$512 = 2048.2^{q.4}$

$\frac{1}{4} = 2^{4q}$

$2^{-2} = 2^{4q}$

-2 = 4q -> $\boxed{q=-0,5}$

b) Pegando o valor limite, ou seja, 1 único caso temos

$1 = 2048.2^{-0,5.t}$

$\frac{1}{2^{11}} = 2^{-0,5.t}$

$2^{-11} = 2^{-0,5.t}$

-11 = -0,5.t -> 22 anos

Como o enunciado pede um valor menor que um, deve ser o próximo ano, ou seja $\boxed{t=23 anos}$