Question

Suponha que o gerente de uma determinada Empresa necessite saber qual o nível de
produção de alguns de seus funcionários. A partir de uma peça complexa, já com tempo
médio de confecção pré-determinado (tempo médio de 75 min e desvio padrão de
6min), ele realizou um teste prático. O objetivo era o de saber qual a probabilidade de
um trabalhador levar um tempo entre 75 e 81 minutos para usinar essa peça, ou seja,
P(75≤X≤81). Como proceder? Esquematize também a Curva de Distribuição Normal de
Probabilidade.

Answer 1

Olá, Egneiva.

A probabilidade de uma variável aleatória $X$ com distribuição normal de média $\mu$ e desvio-padrão $\sigma$ estar entre dois valores $x_1$ e $x_2$ é calculada da seguinte forma: 

$P(x_1<=X<=x_2)=\int\limits^{x_2}_{x_1}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dx$

Como o cálculo desta integral é complexo (obtido apenas através de métodos computacionais numéricos), utiliza-se uma tabela de valores da distribuição normal padrão, onde:

$\begin{cases}\mu=0\\\sigma=1\end{cases}$

Para que a tabela da normal padrão possa ser utilizada, devemos fazer a seguinte transformação na variável $X:$

$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Esta nova variável $Z$ tem distribuição normal padrão.

O exercício pede para que calculemos:

$P(75\leq X \leq 81)=P(X\leq81)-P(X\leq75)=\\\\=P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq\frac{81-\mu}{\sigma})-P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq\frac{75-\mu}{\sigma})=P(Z\leq\frac{81-\mu}{\sigma})-P(Z\leq\frac{75-\mu}{\sigma})$

No exercício são dados:

$\begin{cases}\mu=75\,min\\\sigma=6\,min\end{cases}\Rightarrow\\\\\\P(Z\leq\frac{81-75}{6})-P(Z\leq\frac{75-75}{6})=P(Z\leq1)-P(Z\leq0)$

Na tabela da normal padrão, em anexo, encontramos os seguintes valores:

$\begin{cases}P(Z\leq0)=0,5\\P(Z \leq 1)=0,8413\end{cases}$

Assim:

$P(Z\leq1)-P(Z\leq0)=0,8413-0,5=0,3413=\boxed{34,13\%}$

A probabilidade de que um trabalhador leve um tempo entre 75 e 81 minutos para usinar a peça é de 34,13%.

O desenho esquemático da distribuição normal desta questão está em anexo. Observe, no desenho, que a probabilidade procurada é a área pintada de amarelo entre as abscissas 75 e 81.

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