Matemática, perguntado por Celopo, 1 ano atrás

Suponha que F(t) = ∫_1^x▒〖f(t)dt=x^2-2x+1〗. Determine f(x)


Celopo: variação da integral de 1 a x
Usuário anônimo: Esse intervalo esta correto?
Celopo: sim , está correto de 1 a x, não consegui resolver!
Usuário anônimo: Ok!
Celopo: pede-se para usar o resultado do TFC: F'(x) = f(x)
Usuário anônimo: Ok! O problema é o x no intervalo.
Celopo: verdade, tentei de todas as maneiras...
Celopo: que eu conheço... hehehe
Usuário anônimo: Já entendi!
Usuário anônimo: Deu para entender?

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Bom dia Celopo!

Solução!

Esse exercício é uma demonstração do TFC.

 \boxed{\dfrac{d}{dx}[\int_{a}^{x} f(t)dt]=f(x)}



 \displaystyle \int_{1}^{x} x^{2} -2x+1 dx\\\\\\\
I=  \frac{ x^{3} }{3}+ \frac{2 x^{2} }{2}+x \bigg| _{1}^{x}\\\\\\\\\\\\
I=  \left (\frac{ x^{3} }{3}+ \frac{2 x^{2} }{2}+x \right )-  \left (\frac{ ^{3} }{3}+ \frac{2 x^{2} }{2}+x \right )\\\\\\\\\\\
I= \left (\frac{ x^{3} }{3}+ \frac{2 x^{2} }{2}+x \right )-  \left (\frac{ 1^{3} }{3}+ \frac{1^{2} }{2}+1 \right )\\\\\\\\\\
I= \left (\frac{ x^{3} }{3}+ \frac{2 x^{2} }{2}+x \right )-  \left (\frac{ 1 }{3}+ \frac{1}{2}+1 \right )


Fazendo~~a~~derivada!\\\\\\\

I= \left (\dfrac{ x^{3} }{3}+ \dfrac{2 x^{2} }{2}+x \right )-  \left (\dfrac{ 1 }{3}+ \dfrac{1}{2}+1 \right )\\\\\\\\\\

I'= \left (\dfrac{ 3.x^{3-1} }{3}+ \dfrac{2.2 x^{2-1} }{2}+ x^{1-1}  \right )-  \left (0+0+0\right )\\\\\\\\\\

I'= \left ( x^{2} +2 x+ 1  \right )\\\\\\\\\\


Logo,~~pelo~~TFC~~temos\\\\\\\
F'(t)= \dfrac{ x^{3} }{3}+ \dfrac{2 x^{2} }{2}+x\\\\\\\
f(x)= x^{2} +2 x+ 1\\\\\\\
F'(t)=f(x)\\\\\\\\\
 \boxed{\dfrac{ x^{3} }{3}+ \dfrac{2 x^{2} }{2}+x=x^{2} +2 x+ 1 }


Bom dia!
Bons estudos!


Celopo: Obrigado, valeu amigo!
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