Question

Suponha que f seja uma função com crescimento exponencial tal que f(1)= 3 e f(3) = 5. Determine o valor de f(8). Obs: Utilize a função exponencial que é dada por: f(x)= b.a^x

Answer 1

Sabendo que a função exponencial é dada por $f(x) =b\cdot a^x$ vamos substituir os valores dados para encontrar a e b.

$f(1) = 3 \\\\b\cdot a^1 = 3\\\\a = \dfrac{3}{b}$

$f(3) = 5\\\\b\cdot a^3 = 5\\\\a^3 = \dfrac{5}{b}$

Assim temos um sistema de equações:

$\begin{cases} a = \dfrac3{b} \\\\ a^3 = \dfrac5{b}\end{cases}$

Elevando a 1ª equação ao cubo e igualando a segunda temos:

$\dfrac{27}{b^3} = \dfrac5{b}\\\\b^2= \dfrac{27}5\\\\b = \sqrt{\dfrac{27}{5}}\\\\b = \dfrac{3\sqrt3}{\sqrt5} = \dfrac{3\sqrt{15}}{5}$

E achando a pela primeira equação:

$a= \dfrac3{\dfrac{3\sqrt{15}}{5}}\\\\\\a = \dfrac{5}{\sqrt{15}} = \dfrac{5\sqrt{15}}{15} = \dfrac{\sqrt{15}}{3}$

Agora que sabemos a e b, podemos encontrar o valor de f(8).

$f(x) = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} \cdot \left( \dfrac{\sqrt{15}}{3} \right)^x$

$f(8) = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} \cdot \left( \dfrac{\sqrt{15}}{3} \right)^8\\\\\\f(8)= \dfrac{15^4\sqrt{15}}{5.3^7} \\\\\\f(8) = \dfrac{15^3\sqrt{15}}{3^6} =\dfrac{3^3.5^3\sqrt{15}}{3^6} = \dfrac{125\sqrt{15}}{27}}$

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