Question

Suponha que exista r > 0 tal que f (x) ≥ 0 para p < x < p + r. Prove que limite quando x tende a p pela esquerda de f(x)>=0 desde que o limite exista.

Answer 1

Olá!
 
    Do enunciado dá pra concluir que o limite quando x tende a p pela direita existe. Agora, se ele existir quando x tende a p pela esquerda, então podemos utilizar o teorema da conservação do sinal, que diz que o limite de uma função próxima a um determinado ponto, carrega o mesmo sinal desta função. Ou seja, consegue-se um intervalo, por menor que seja, onde o limite, numa vizinhança do ponto p, terá o mesmo sinal da função.
  
   Logo, se o limite quando x tende a p pela esquerda existir, então, pelo teorema da conservação do sinal, teremos que esse limite será maior ou igual a zero, visto que a função f(x) é maior ou igual a zero próximo ao ponto p.
  
  Dá pra provar por épsilon e delta (usando a definição de limite), mas ficaria meio longo.

Bons estudos!