Question

Suponha que ao tentar resolver o problema do rei de Siracusa, Arquimedes tenha verificado que a massa da coroa era de 600 g e que ao mergulhar a coroa na água, ela tenha deslocado 35 cm3 do líquido. Considerando a massa específica do ouro igual a 20 g/cm3 e da prata igual a 10 g/cm3, calcule a massa de ouro e a massa de prata existentes na coroa

Answer 1

Sejam $V_o$ e $V_p$ respectivamente os volumes de ouro e de prata na coroa. Então, pelo enunciado:

$V_p+Vo=35~cm^3~~~(i)$

Além disso, a soma das massas de ouro e de prata deve ser igual a 600 g. Assim:

$m_p+m_o=600~g~~~(ii)$

São dadas as densidades do ouro e da prata. A densidade é a grandeza que pode ser expressa pela seguinte fórmula: $d=\dfrac{m}{V}$. Aplicando essa fórmula, chegamos às seguintes relações:

- Para o ouro:

$d_o=\dfrac{m_o}{V_o}\Longrightarrow 20~g/cm^3=\dfrac{m_o}{V_o}\Longrightarrow V_o=\dfrac{m_o}{20}~~~(iii)$

- Para a prata:

$d_p=\dfrac{m_p}{V_p}\Longrightarrow 10~g/cm^3=\dfrac{m_p}{V_p}\Longrightarrow V_p=\dfrac{m_p}{10}~~~(iv)$

Substituindo (iii) e (iv) em (i):

$V_o+V_p=35\\\\ \dfrac{m_o}{20}+\dfrac{m_p}{10}=35\\\\ m_o+2m_p=700\\\\ m_o=700-2m_p~~~(v)$

Aplicando (v) em (ii):

$m_p+m_o=600\\\\ m_p+(700-2m_p)=600\\\\ m_p+700-2m_p=600\\\\ -m_p+700=600\\\\ m_p=700-600\\\\ \boxed{m_p=100~g}$

Voltando à equação (ii):

$m_p+m_o=600\\\\ 100+m_o=600\\\\ m_o=600-100\\\\ \boxed{m_o=500~g}$

Logo, há 500 g de ouro e 100 g de prata na coroa.