Question

Suponha que a equação da velocidade V (em m/s) de um ponto material em função do tempo t (em s) seja dada por v(t) =-4,5t2+18t. Usando os conhecimentos aprendidos em derivadas, determine o instante no qual a velocidade do ponto material é máxima e a velocidade máxima.

Answer 1

Temos a seguinte função da velocidade de um ponto material:

$\sf v(t) = - 4,5t {}^{2} + 18t$

A partir dessa função a questão pergunta qual a velocidade máxima e o instante em que a velocidade é máxima. Para realizar esse cálculo vamos usar o teste da 1° e 2° derivada:

• Derivada primeira:

$\sf v'(t) = ( - 4,5t {}^{2} + 18t )' \\ \sf v'(t) = - 9t + 18 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Derivada segunda:

$\sf v''(t) = ( - 9t + 18)'' \\ \sf v''(t) = - 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Tendo feito isso, vamos ver qual o valor que anula a derivada primeira:

$\sf v'(t) = 0 \\ \sf - 9t + 18 = 0 \\ \sf - 9t = - 18 \: \: \: \: \\ \sf t = \frac{ - 18}{ - 9} \: \: \: \: \: \: \\ \sf t = 2 s \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos lembrar que quando a derivada segunda é positiva quer dizer que há um mínimo, já quando a mesma é negativa quer dizer que há um máximo. Portanto podemos concluir que há um máximo em t = 2, então esse é o instante em que a velocidade é máxima, sabendo disso basta substituir esse valor na função v(t):

$\sf v(t) = - 4,5t {}^{2} + 18t \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf v(t) = - 4,5.(2 ){}^{2} + 18.2 \\ \sf v(t) = - 4,5.4 + 36 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf v(t) = 18 m/s \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

V(t)= -4 ,5 t² +1 8 t  --> V'(t)= 2 .-4 ,5 t² -¹ + 18 t ¹ -¹  --> V'(t )= -9 t +1 8 --> 0  = -9 t+1 8 --> -9 t=-18  --> t= -1 8 /-9 --> t=2 s . no  instante  2s  ponto  material apresenta  velocidade  máxima . Agora  substituirmos o 2 na  função  velocidade  para  identificar qual a  velocidade de  máxima . --> V(t )-4,5t ² +1 8 t  --> V(2 )= -4 ,5 .2 ² +1 8.2 --> 1 8 m/s . (t=2 s  e  V max = 18 m/s )