Question

supondo que para resolver um problema envolvendo o calculo de uma integral tripla, foi adotada a mudança de variaveis considerando as seguintes relações x=w ao quadrado, y=v, z= w ao quadrado, de modo a converter o sistema de coordenada cartesianas em novo sistema. considerando as relações apresentadas, assinale a alternativa que contém jacobiano associado á essa mudança de coordenada: a) J=4uvw, b)J=2w, c) J=4uw, d)J=2u , e)J=2uw

Answer 1

Utilizando definição de jacobiano e transformações de espaço, temos que o jacobiano desta transformação é dado por 2w. Letra b).

Explicação passo-a-passo:

O jacobiano é o determinante da matriz jacobiana que é dada por:

$J_{i,j}=\frac{\partial x^{i}}{\partial y^{j}}$ (Componentes da matriz).

Onde nesta notação y são as novas coordenadas e x são as coordenadas antes da transformação.

Assim podemos escrever componentes um a um:

$J_{1,1}=\frac{\partial x}{\partial u}=1$

$J_{1,2}=\frac{\partial x}{\partial v}=0$

$J_{1,3}=\frac{\partial x}{\partial w}=0$

$J_{2,1}=\frac{\partial y}{\partial u}=0$

$J_{2,2}=\frac{\partial y}{\partial v}=1$

$J_{2,3}=\frac{\partial y}{\partial w}=0$

$J_{3,1}=\frac{\partial z}{\partial u}=0$

$J_{3,2}=\frac{\partial z}{\partial v}=0$

$J_{3,3}=\frac{\partial z}{\partial w}=2w$

Assim montando esta matriz temos:

$J=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2w\end{array}\right]$

Tirando este determinante nós temos:

$det[J]=1.1.2w=2w$

Assim o jacobiano desta transformação é dado por 2w. Letra b).