Question

Sugestão Seja x uma das medidas do retângulo e y sua área. Vamos calcular y em função de x (fig. A):

Os dois triângulos da figura B são semelhantes. Relacione seus elementos e calcule o segmento a em função de x. A área do retângulo é y = x · a. Substituindo a pela expressão encontrada, obtém-se uma função do 2º grau. Deter-mine, então, para que valor de x encontra-se o máximo de y

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Semelhança de triângulos

$\sf \dfrac{x}{40-a}=\dfrac{30}{40}$

$\sf \dfrac{x}{40-a}=\dfrac{3}{4}$

$\sf 4x=3\cdot(40-a)$

$\sf 4x=120-3a$

$\sf 3a=120-4x$

$\sf a=\dfrac{120-4x}{3}$

Substituindo em $\sf y=a\cdot x$:

$\sf y=\Big(\dfrac{120-4x}{3}\Big)\cdot x$

$\sf y=\dfrac{120x-4x^2}{3}$

$\sf y=\dfrac{-4x^2}{3}+\dfrac{120x}{3}$

$\sf y=\dfrac{-4x^2}{3}+40x$

O valor de x tal que y seja máximo é:

$\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-40}{2\cdot\Big(\frac{-4}{3}\Big)}$

$\sf x_V=\dfrac{-40}{\frac{-8}{3}}$

$\sf x_V=\dfrac{-40}{1}\cdot\Big(\dfrac{-3}{8}\Big)$

$\sf x_V=\dfrac{120}{8}$

$\sf \red{x_V=15}$