Question

Subtraindo 2000^200 de 2^2002, a diferença d é tal que:

A) d > 1
B) d = -1
C) -1 < d < 1
D) d = 1
E) d < -1

(explica passo a passo pfvr)
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Answer 1

Resposta: A) d > 1

Explicação passo a passo:

Vamos manipular a expressão:

$d=2000^{200}-2^{2002}$

Reescreva 2000 em sua forma fatorada e simplifique aplicando as propriedades da potenciação:

$=(2^4\cdot 5^3)^{200}-2^{2002}\\\\ =(2^4)^{200}\cdot (5^3)^{200}-2^{2002}\\\\ =2^{800}\cdot 5^{600}-2^{2002}$

Reescreva 2002 como a soma 800 + 1202:

$=2^{800}\cdot 5^{600}-2^{800+1202}\\\\ =2^{800}\cdot 5^{600}-2^{800}\cdot 2^{1202}$

Coloque o fator comum em evidência:

$=2^{800}\cdot (5^{600}-2^{1202})\\\\ =2^{800}\cdot (5^{600}-2^2\cdot 2^{1200})\qquad (i)$

Agora temos que estudar a diferença que está entre parênteses. Temos o seguinte:

$5^6=15625\\\\ 2^{12}=4096$

Fazendo a divisão de 15625 por 4096 obtemos um resultado entre 3 e 4. Logo,

$\Longrightarrow\quad \dfrac{15625}{4096}>3\\\\\\ \Longrightarrow\quad \dfrac{5^6}{2^{12}}>3\\\\\\ \Longrightarrow\quad 5^6>3\cdot 2^{12}$

Eleve todos os membros à centésima potência:

$\Longrightarrow\quad 5^{600}>3^{100}\cdot 2^{1200}$

e como $3^{100}>2^2,$ temos

$\Longrightarrow\quad 5^{600}>3^{100}\cdot 2^{1200}>2^2\cdot 2^{1200}\\\\ \Longrightarrow\quad 5^{600}>2^{1202}\\\\ \Longrightarrow\quad 5^{600}-2^{1202}\ge 1 \qquad (ii)$

Portanto, retornando à expressão (i), temos

$2^{800}\cdot (5^{600}-2^{1202})\ge 2^{800}\\\\ \Longrightarrow \quad d\ge 2^{800}>1$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!