Question

somar os infinitos termos de uma progressão geométrica, e prove para todos valores reais de x
Sem(x)-1/2sem²(x)+1/4sem³(x)-1/8sen4 (x)+...=(2sen(x))/(2+sen(x))

Answer 1

Conseguimos provar que a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica é

$\dfrac{2sen\left(x\right)}{2-sen\left(x\right)}$

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica

Vamos considerar a P.G infinita

$\left(sen\left(x\right),\dfrac{sen^2\left(x\right)}{2},\dfrac{sen^3\left(x\right)}{4},....\right)$  de razão q, com  $q=\dfrac{sen\left(x\right)}{2}$

Vamos considerar também  que exista a soma  $S_{\infty }$ dos infinitos termos da P.G, temos então:

$S_{\infty }=sen\left(x\right)+\dfrac{sen^2\left(x\right)}{2}+\dfrac{sen^3\left(x\right)}{4}+......$

Multiplicando por $\dfrac{sen(x)}{2}$ ambos os membros dessa equação, obtemos:

$\dfrac{sen\left(x\right)}{2}\cdot S_{\infty }=sen\left(x\right)\cdot \dfrac{sen\left(x\right)}{2}+\dfrac{sen^2\left(x\right)}{2}\cdot \dfrac{sen\left(x\right)}{2}+\dfrac{sen^3\left(x\right)}{4}\cdot \dfrac{sen\left(x\right)}{2}+......$

Subtraindo, membro a membros, as igualdes

$S_{\infty }-\dfrac{sen\left(x\right)}{2}\cdot S_{\infty }=sen\left(x\right)$

Fatorando o primeiro membro:

$S_{\infty \:}-\dfrac{sen\left(x\right)}{2}\cdot \:S_{\infty \:}=sen\left(x\right)\Rightarrow S_{\infty }\left(1-\dfrac{sen\left(x\right)}{2}\right)=sen\left(x\right)\Rightarrow S_{\infty }=\dfrac{sen\left(x\right)}{1-\dfrac{sen\left(x\right)}{2}}=\dfrac{sen\left(x\right)}{\dfrac{2-sen\left(x\right)}{2}}=\dfrac{2sen\left(x\right)}{2-sen\left(x\right)}$

Saiba mais sobre progressão geométrica:https://brainly.com.br/tarefa/732239

#SPJ1