Question

soma dos ângulos internos de três polígonos é igual a 3240°. Qual é o número de diagonais do maior polígono se o primeiro tem “n” lados, o segundo mede “n – 3” e o terceiro mede “n + 3”? 44

Answer 1

Olá, vamos lá.

Para responder a questão passaremos por alguns conceitos de geometria plana:

○ A soma dos ângulos de um polígono convexo é dado por:

$Si=180\°(n-2)$

Onde:

Si = soma dos ângulos internos.

n = número de lados do polígono.

Utilizando a fórmula, vamos deixar em função de "n" cada soma:

$Si_1=180\°(n-2)$

$Si_2=180\°([n-3]-2)=180\°(n-5)$

$Si_3=180\°([n+3]-2)=180\°(n+1)$

Segundo o enunciado, se somarmos tudo resultará em 3240°, portanto:

$Si_1+Si_2+Si_3=3240\°$

$180\°(n-2)+180\°(n-5)+180\°(n+1)=3240\°$

Colocando o 180° em evidência:

$180\°[(n-2)+(n-5)+(n+1)]=3240\°$

$180\°(3n+6)=3240\°$

$3n+6=\dfrac{3240\°}{180\°}$

$3n+6=18$

$3n=18-6=12$

$n=\dfrac{12}{3}$

$n=4$

Então, concluí-se que dos polígonos, temos:

Polígono 01 → 4 lados;

Polígono 02 → 1 lado;

Polígono 03 → 7 lados;

Pode-se dizer que o maior então é o polígono 03.

Agora o que o exercício quer mesmo é o número de diagonais.

○ A diagonal de polígono é dado segundo a fórmula:

$d=\dfrac{n(n-3)}{2}$

Onde:

d = número de diagonais;

n = número de lados do polígono.

Substituindo na fórmula, temos:

$d=\dfrac{7\cdot\;(7-3)}{2}$

$d=\dfrac{7\cdot4}{2}$

$d=\dfrac{28}{2}$

$\boxed{d=14}$

Espero que tenha entendido, bons estudos.