Solução para este questionamento a seguir?
Dado um ponto A= (1,2,3) ∈ R3 e o vetor−→AB= (3,−5,2). Determine uma equação para o conjunto dos pontos P(x, y, z) ∈ R3 tal que: −→AP⊥−→AB.
Conforme a imagem a seguir:
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A equação para o conjunto dos pontos P(x,y,z) ∈ IR³, tal que AP ⊥ AB é 3x - 5y + 2z = -1.
Como A = (1,2,3) e P = (x,y,z), então o vetor AP será:
AP = (x - 1, y - 2, z - 3).
De acordo com o enunciado, o vetor AP é perpendicular ao vetor AB = (3,-5,2). Isso significa que o produto interno entre AP e AB tem que ser igual a zero.
Dito isso, temos que:
<AB,AP> = 3(x - 1) - 5(y - 2) + 2(z - 3)
<AB,AP> = 3x - 3 - 5y + 10 + 2z - 6
<AB, AP> = 3x - 5y + 2z + 1.
Portanto,
3x - 5y + 2z + 1 = 0
3x - 5y + 2z = -1.
O conjunto de pontos forma o plano 3x - 5y + 2z = -1.
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