Question

solução da inequação é (x – 2) ( - x² + 3x + 10) > 0 quero bem detalhada além de querer a resposta,quero bem detalhado com explicação

Answer 1

Você tem uma inequação que é um produto de funções. Então vamos estudar os sinais dessas funções e efetuar a multiplicação através dos sinais.

x - 2 é uma função do 1º grau. Vamos igualar a zero para encontrar a sua raiz, ou seja, o seu zero.

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

Trace uma reta e represente o 2 através de um zerinho sobre a reta. A função do 1º grau tem o mesmo sinal de a (coeficiente de x) à direita, e sinal contrário de a à esquerda. Como no nosso caso a = 1, portanto, positivo, à direita de 2, na reta, coloque ++++++++++++ e, à esquerda, ------------------

Vamos para a outra função, que é -x² + 3x + 10, uma função do 2º grau. Igualando a zero, temos:

-x² + 3x + 10 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = 3² - 4.(-1).10 = 9 + 40 = 49
x = (-b +- √Δ) / 2a
x = (-3 +- √49) / 2.(-1) = (-3 +- 7) / -2
x' = (-3 - 7) / -2 = -10 / -2 = 5
x" = (-3 + 7) / -2 = 4 / -2 = -2

Faça outra reta embaixo da anterior e coloque -2 e 5 nessa reta, representa-os por zerinhos sobre a reta. -2, embora na reta de baixo, deve ficar antes de -2 e 5 depois do 2. Sabemos que a função do 2º grau, quando Δ > 0, ou seja, positivo, tem o mesmo sinal de a (coeficiente de x²) antes da 1ª raiz e depois da 2ª, e entre as raízes, tem sinal contrário de a. Como na nossa função a = -1, portanto, negativo, coloque nesta 2ª reta, --------------- antes de -2 e depois de 5, e +++++++++++++ entre -2 e 5.

Agora vamos efetuar a multiplicação através destes sinais que colocamos nas retas.

Trace uma terceira reta abaixo das outras duas. Abaixe as raízes, isto é, coloque as raízes nessa última reta, obedecendo suas posições: -2 debaixo de -2, 2 debaixo de 2 e 5 debaixo de 5. Representando sempre através de zerinhos.

Antes de -2, você tem ------ na 1ª reta e ----- na 2ª. Sinais iguais na multiplicação dá mais, portanto, coloque +++++++++++ na terceira reta.

Entre -2 e 2, você tem -------- na 1ª reta e ++++++ na 2ª. Na multiplicação, sinais diferentes dá menos, portanto, coloque ---------------- na terceira reta, entre -2 e 2.

Entre 2 e 5, você te +++++ na 1ª reta e +++++ na 2ª. Como na multiplicação sinais iguais dá mais, coloque +++++++++++ na última reta, entre 2 e 5.

Depois de 5, você tem +++++++ na 1ª reta e ----------- na 2ª. Como na multiplicação, sinais diferentes dá menos, coloque ------------- na 3ª reta, depois de 5.

Como nas raízes a função vale zero, em -2 a 1ª função é negativa mas a 2ª é zero e qualquer coisa vezes zero dá zero; em 2 a 1ª é zero e a 2ª é positiva, e zero vezes qualquer coisa é zero; em 5 a 1ª é positiva e a 2ª é zero, e qualquer coisa vezes zero é zero. Se a inequação fosse ≥ 0 ou ≤ 0, você teria que pintar todos os zerinhos da última reta. Não é o caso aqui.

Olhando para a inequação que você postou, lá está  > 0, isto é, queremos onde o produto (resultado da multiplicação) seja positivo.

Então, pintamos, na última reta, onde deu ++++++, ou seja, antes de -2 e entre 2 e 5

Agora escrevemos o conjunto solução, que nada mais é do que a leitura daquilo que você pintou na última reta.

S = { x ∈ R / x < -2 ou 2 < x < 5 }