Question

Solução da equação diferencial de segunda ordem y''-5y'-6y=0

Answer 1

y= $e^{rt}$
y'=r $e^{rt}$
y''=$r^{2}$ $e^{rt}$

$r^{2}$-5r-6=0

delta= 25 -4*1*(-6)=49

r=$\frac{5+- \sqrt{49} }{2}$
r1=6
r2=-1

A$e^{6t}$ + B $e^{-t}$

Answer 2

A solução geral da equação diferencial é  $\boxed{y(x) = c_1e^{6x}+c_2e^{-x}}$ .

Solução:

Queremos encontrar uma solução para a equação diferencial de segunda

ordem com coeficientes constantes:

$y''-5y'-6y=0$

Suponha que as soluções da equação diferencial são funções do tipo

$y = y(x) = e^{rx}$ com $r \in\,\mathbb{R}$ .

Calcule a primeira e a segunda derivadas da função exponencial:

$y'=re^{rx}\\\\y''=r^2e^{rx}$

Substitua na equação original:

$r^2e^{rx}-5re^rx}-6e^{rx}=0$

Coloque o termo da exponencial em evidência:

$e^{rx} \cdot (r^2-5r-6)=0$

Como o termo da exponencial nunca pode ser zero, temos que:

$r^2-5r-6=0$

a qual chamamos de equação característica.

Utilizando a fórmula quadrática para resolver, obtemos:

$\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c\\\\\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot (-6)\\\\\Delta = 25+24\\\\\therefore \boxed{\Delta=49}$

Logo:

$r=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2\cdot1} =\dfrac{5\pm7}{2}\\\\\\\therefore \boxed{r_1=6} \qquad \boxed{r_2=-1}$

Portanto, as soluções da equação diferencial são:

$y_1(x)=e^{r_1 x} \longrightarrow \quad \therefore \boxed{y_1(x)=e^{6x}}\\\\y_2(x)=e^{r_2 x} \longrightarrow \quad \therefore \boxed{y_2(x)=e^{-x}}$

Porém, como y₁ e y₂ são soluções, a combinação linear delas também é.

A solução geral é, portanto:

$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\\\\\\\therefore \boxed{y(x)=c_1e^{6x}+c_2e^{-x}}$

onde c₁ e c₂ são constantes reais.

Continue aprendendo com o link abaixo:

Equação diferencial separável

https://brainly.com.br/tarefa/37991892

Bons estudos!

Equipe Brainly