Question

socorro!!!

Determine uma equação geral do plano α paralelo ao plano β : X = (1, 2, 3) +
h(4, 1, 0) + t(0, −1, 1); h, t ∈ R, e que passe pelo ponto P(−1, 2, −2).


Determine uma equação geral do plano β que contém os pontos A(1, −2, 2) e B(−3, 1, −2) e ´e perpendicular ao plano π : 2x + y − z = 1.

Answer 1

a)

β : (x,y,z) = (1, 2, 3) + h(4, 1, 0) + t(0, −1, 1)          h, t ∈ R

x=1+4h
y=2+h-t
z=3+t

Queremos 3 pontos deste  plano

fazendo h=0   e t=0     |   fazendo h=0  e t=1   |    fazendo h=1  e t=0
x=1+4h=1                        x=1+0=1                        x=1+4=5
y=2+h-t=2                        y=2+0-1=1                     y=2+1=2
z=3+t =3                          z=3+1=4                        z=3+0=3       

temos os vetores que pertencem  ao plano β          

(1-1,2-1,3-4) =(0,1,-1)
(-4 , 2-2,3-3)=(-4,0,0)

Fazendo o produto vetorial destes dois vetores teremos o vetor normal ao plano β  e ao plano paralelo a ele, o plano α.
x   y   z    x   y
0   1 -1    0   1
-4  0   0  -4  0       det=4y+4z ==> (0,4 , 4)

O plano α  tem como vetor normal (0,4,4)  e ponto P(−1, 2, −2)

α: ax+by+cz+D=0

α: 0*x+4*y+4*z+D=0

no ponto P(−1, 2, −2)

0*(-1)+4*2+4*(-2)+D=0  ==>D=0

α : 4y+4z =0  ou y+z=0     é a resposta

##########################################


b) 

plano β ?

A(1, −2, 2) e B(−3, 1, −2)  e perpendicular ao plano π : 2x + y − z = 1.

AB=(1+3,-2-1,2+2)=(4,-3,4)

vetor perpendicular ao vetor π é  (2,1,-1)

O produto vetorial de (4,-3,4)  e   (2,1,-1) é perpendicular ao plano β:
x    y   z   x   y
4   -3  4   4  -3
2   1  -1   2   1

det= 3x+8y+4z+4y-4x+6z =-x+12y+10z ==>(-1,12,10)

β:  -x+12y+10z+D=0     ....Usando  A(1, −2, 2) 

-1-24+20+D=0  ==>D=5

β:  -x+12y+10z+5=0    é a resposta