Question

SOCORRO!!
Dado o gráfico abaixo,determine as coordenadas do ponto P.

Answer 1

Observe a figura em anexo a esta resposta.

Nela, temos marcados os pontos

$Q(7;\,8),\;\;R(7;\,2),\;\;S(x_{_{P}};\,2)\;\;T(0;\,2),\;\;V(0;\,8)\;\text{ e }\;P(x_{_{P}};\,y_{_{P}}).$


$\bullet\;\;$ Observamos que os triângulos $QRT$ e $QST$ são semelhantes, e os segmentos $\overline{QR}$ e $\overline{PS}$ são paralelos.


Dessa semelhança, tiramos que

$\dfrac{\mathrm{med\,}(\overline{QR})}{\mathrm{med\,}(\overline{RT})}=\dfrac{\mathrm{med\,}(\overline{PS})}{\mathrm{med\,}(\overline{ST})}\\ \\ \\ \dfrac{8-2}{7-0}=\dfrac{y_{_{P}}-2}{x_{_{P}}-0}\\ \\ \\ \dfrac{6}{7}=\dfrac{y_{_{P}}-2}{x_{_{P}}}\\ \\ \\ 6x_{_{P}}=7\,(y_{_{P}}-2)\\ \\ 6x_{_{P}}=7y_{_{P}}-14\\ \\ 6x_{_{P}}-7y_{_{P}}=-14\;\;\;\;\;(i)$


$\bullet\;\;$ Também podemos ver que os triângulos $VTR$ e $PSR$ são semelhantes, e os segmentos $\overline{VT}$ e $\overline{PS}$ são paralelos.


Dessa semelhança, tiramos que

$\dfrac{\mathrm{med\,}(\overline{VT})}{\mathrm{med\,}(\overline{RT})}=\dfrac{\mathrm{med\,}(\overline{PS})}{\mathrm{med\,}(\overline{RS})}\\ \\ \\ \dfrac{8-2}{7-0}=\dfrac{y_{_{P}}-2}{7-x_{_{P}}}\\ \\ \\ \dfrac{6}{7}=\dfrac{y_{_{P}}-2}{7-x_{_{P}}}\\ \\ \\ \dfrac{6}{7}=\dfrac{y_{_{P}}-2}{7-x_{_{P}}}\\ \\ \\ 6\,(7-x_{_{P}})=7\,(y_{_{P}}-2)\\ \\ 42-6x_{_{P}}=7y_{_{P}}-14\\ \\ 42+14=6x_{_{P}}+7y_{_{P}}\\ \\ 6x_{_{P}}+7y_{_{P}}=56\;\;\;\;\;(ii)$


Somando as equações $(i)$ e $(ii),$ temos

$6x_{_{P}}+6x_{_{P}}=-14+56\\ \\ 12x_{_{P}}=42\\ \\ x_{_{P}}=\dfrac{42}{12}\\ \\ x_{_{P}}=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 6\cdot 7}{\diagup\!\!\!\! 6\cdot 2}\\ \\ x_{_{P}}=\dfrac{7}{2}$


Substituindo na equação $(i)$ o valor encontrado acima, temos

$6\cdot \left(\dfrac{7}{2} \right )-7y_{_{P}}=-14\\ \\ \\ 21-7y_{_{P}}=-14\\ \\ \\ 7y_{_{P}}=21+14\\ \\ 7y_{_{P}}=35\\ \\ y_{_{P}}=\dfrac{35}{7}\\ \\ y_{_{P}}=5$


Logo, temos as coordenadas do ponto $P:$

$P\left(\dfrac{7}{2};\,5 \right ).$