Question

Sobre uma progressão geométrica, an, estritamente crescente, sabe-se que a1 + a6 = 1025 e que a3a4 = 1024. Qual a razão desta progressão?

Answer 1

Resposta:

q = 4

Explicação passo-a-passo:

1) a1 + a6  = 1025

2) a3.a4 = 1024

<Estritamente Crescente>

Forma geral: an = a1.q^n-1

1) a6  a1.q^5 → a1 + a1.q^5 = 1025 → a1.q^5 = 1025 - a1

2) a4 = a1.q^3 ; a3 = a1.q^2 → a1.q^3.a1.q^2 = 1024 → a1q^5.a1 = 1024 → (1025 -a1)a1 = 1024

-a1^2 + 1025a1 - 1024 = 0 → Δ = (1024)^2 - 4.(-1).(-1024) → Δ = 1046529

a1 = (-1025 ± 1023)/-2 → a1' = 1024 ; a1" = 1

Se a1 = 1024 → a6 = 1025 - 1024 → a6 = 1 → q = $\sqrt[5]{1/1024}$ → q = 1/4.

Se a1 = 1 → a6 = a1.q^5 → q = 4

Como a PG é estritamente crescente temos que a1>0 e 0<q<1 para q = 1/4 e a1 = 1024. Logo ela é decrescente.

Já para a1 = 1 e q = 4 temos a condição a1>0 e q>1, tornando assim uma PG crescente. Logo a resposta é a q =4.

Essa questão é trabalhosa, uma poderosa lógica. Espero ter ajudado, abraços.