Question

Sobre um gramado em forma de retângulo, abcd de dimensões 4m x 8m, deseja-se construir uma estrutura de madeira para uma apresentação. um arquiteto propôs o formato de um paralelogramo, como pode ser visto na figura ao lado o qual nomeamos de MNPQ, cujos vértices M, N, P e Q distam x, respectivamente, dos vértices do jardim A, B, C e D.


para que o gasto com a construção da estrutura seja mínimo, deseja-se construir a área de MNPQ seja a menor possível. Nesse caso, ela seria de:


A)18m²


B)16m²


C)14m²


D)20m²


E)24m²​

Answer 1

A menor área possível de MNPQ é 14 m².

Resolução:

A área do paralelogramo MNPQ é a diferença entre a área do retângulo ABCD e a área dos quatro triângulos nas laterais.

Área do retângulo ABCD: 4 x 8 = 32 m²

Área do triângulo maior:

x.(8 - x) = - x² + 8x

    2               2

Área do triângulo menor:

x.(4 - x) = - x² + 4x

    2                2

Assim, a área do paralelogramo MNPQ é:

32 - 2.(-x² + 8x) - 2.(-x² + 4x) =

               2                    2

32 - (-x² + 8x) - (-x² + 4x) =

32 + x² - 8x + x² - 4x =

32 + 2x² - 12x =

2x² - 12x + 32

Essa é a função que determina a área de MNPQ.

É uma função quadrática, função do 2° grau.

Os coeficientes são:

a = 2, b = - 12, c = 32

Como a > 0, a função tem valor mínimo.

Esse valor pode ser calculado pelo Yv.

Yv = - Δ  

         4a

Δ = b² - 4ac

Δ = (-12)² - 4.2.32

Δ = 144 - 256

Δ = - 112

Então:

Yv = - (-112)  

           4.2

Yv = 112

        8

Yv = 14

14 m² é a área mínima.