Question

Sobre os lados de um triângulo marcam-se 3; 5 e 6 pontos, respectivamente. Quantos triângulos com vértices nos pontos marcados podemos fazer?

Answer 1

Calculando todas as ligações possíveis entre os pontos dados:

$C_{14}^3=\frac{14!}{3!(14-3)!}\\\\\frac{14!}{3!\cdot11!}\\\\\frac{14\cdot13\cdot12\cdot11!}{6\cdot11!}\\\\14\cdot13\cdot2\\\\\boxed{364}$

Há ao todo 364 ligações possíveis.

Mas temos de excluir as ligações que não formam triângulos, isto é, com três pontos no mesmo lado.

Vamos então calcular essas combinações:

$C_3^3=\boxed{1}\\\\C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot2!}\Rightarrow\boxed{10}\\\\C_6^3=\frac{6!}{3!\cdot3!}\Rightarrow\boxed{20}$

$1+10+20\Rightarrow\boxed{31}}$

Sabendo que há 31 combinações que não formam triângulos, a subtraímos do total, logo:

$364-31\Rightarrow\boxed{\boxed{333~\mbox{triangulos possiveis}}}$