Question

Sobre as questões abaixo, calcule o o gradiente de campo escalar:

Answer 1

Resposta:

Veja abaixo.

Explicação passo-a-passo:

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• Essa tarefa é sobre gradiente.

• O gradiente é uma função vetorial que indica a taxa de maior variação de um campo escalar.

• Em outras palavras, o gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de uma função de 2 ou mais variáveis.

• Por definição, o gradiente de uma função de 2 variáveis f(x, y) é:

        $\boxed{\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat y}}$

• Enquanto, o gradiente de uma função de 3 variáveis f(x, y, z) é:

        $\boxed{\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat y+\dfrac{\partial f}{\partial z}\hat z}}}$

onde $\mathsf{\hat x\,\,,\hat y\,\,,\hat z}$ são o vetores unitários nas direções x, y e z respectivamente.

Sem mais delongas, bora para a solução!

Solução:

7. Calcule as derivadas parciais do campo escalar

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}=y+z}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial y}=x+z}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial z}=x+y}$

Substitua na expressão do gradiente

$\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat y+\dfrac{\partial f}{\partial z}\hat z}}$

$\therefore \boxed{\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{(y+z)\hat x+(x+z)\hat y + (x+y)\hat z}}$

8. Calcule as derivadas parciais do campo escalar

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial y}=4y}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial z}=8z}$

Substitua na expressão do gradiente

$\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat y+\dfrac{\partial f}{\partial z}\hat z}}$

$\therefore \boxed{\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{2x\,\hat x+4y\,\hat y + 8z\,\hat z}}$

9. Calcule as derivadas parciais do campo escalar

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}=3y^3}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial y}=9xy^2-2}$

Substitua na expressão do gradiente

$\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat y}$

$\therefore \boxed{\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{3y^3\,\hat x+(9xy^2-2)\,\hat y}}$

10. Reescreva o campo escalar da seguinte forma:

$\mathsf{f(x,y,z)=\sqrt{xyz}=x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}z^{\frac{1}{2}}}$

Calcule as derivadas parciais do campo escalar

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}z^{\frac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{xyz}}{2x}}$

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}z^{\frac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{xyz}}{2y}}$

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}z^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{xyz}}{2z}}$

Substitua na expressão do gradiente

$\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat y+\dfrac{\partial f}{\partial z}\hat z}}$

$\therefore \boxed{\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{\dfrac{\sqrt{xyz}}{2} \bigg (\dfrac{1}{x}\,\hat x+\dfrac{1}{y}\,\hat y + \dfrac{1}{z}\,\hat z}\bigg )}$

11. Reescreva a função da seguinte forma:

$\mathsf{f(x,y,z)=z-\sqrt{x^2+y^2}=z-(x^2+y^2)^\frac{1}{2}}$

Calcule as derivadas parciais do campo escalar

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}=-\dfrac{1}{2}(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x=-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}$

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{1}{2}(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2y=-\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}$

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial z}=1}$

Substitua na expressão do gradiente

$\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat y+\dfrac{\partial f}{\partial z}\hat z}}$

$\therefore \boxed{\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\hat x-\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\hat y+1\,\hat z}}$

12. Calcule as derivadas parciais do campo escalar

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{2x^2+y}\cdot 4x=4x\cdot e^{2x^2+y}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{2x^2+y}\cdot 1=e^{2x^2+y}}$

Substitua na expressão do gradiente

$\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat y}$

$\therefore \boxed{\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{(4x\cdot e^{2x^2+y})\,\hat x+(e^{2x^2+y})\,\hat y}}$

Bons estudos! : )

Equipe Brainly