Question

Sobre a equação

cos^2 (2x) + cos^2 (5x) = 1
pode-se afirmar que:

A) não possui solução em [0, pi/4);

B) possui única solução em [0, pi/4];

C) possui duas soluções em [0, pi/4];

D) possui três soluções em [0, pi/4];

E) possui quatro soluções em [0, pi/4].

Eu pensei em desenvolver por soma ou produtos de arcos, mas esse cos^2 está me atrapalhando demais..​

Answer 1

Resposta:

d

Explicação passo-a-passo:

cos²(2x) = (1+cos4x)/2

cos² (5x) = (1 + cos10x)/2

cos^2 (2x) + cos^2 (5x) = 1

(1+cos4x)/2 + (1 + cos10x)/2 = 1

1+cos4x + 1 + cos10x = 2

cos4x = -cos10x

cos4x = -(-cos(π - 10x))

cos4x = cos(π- 10x)

o cosseno de dois arcos só são iguais se este forem côngruos ou replementares.

côngruos -->4x = π - 10x + 2kπ

14x =  π + 2kπ

x = π/14 + kπ/7

para k = 0 temos  π/14; para k = 1, temos 3π/14; para k = 2,  teremos um valor fora do intervalo  [0, π/4);

replementares -->4x + π - 10x =2π + 2kπ

-6x = π + 2kπ

x = -π/6 -kπ/3

para k = 0 temos  -π/6; para k =- 1, temos π/6; para k = -2, teremos um valor fora do intervalo  [0, π/4).

Portanto no interval [0, π/4) temos 2 + 1 = 3 soluções.