Question

sobre a circunferência marcam-se dez pontos. A) Quantos triângulos podemos construir com vertices em três desses pontos ? B) Quantos pentágonos convexos podemos construir com vértices em cinco desses pontos ?

Answer 1

A)  C10,3  =10*9*8/6 = 120  triângulos

B) C10,5 =10*9*8*7*6/120 =252 pentágonos

Answer 2

Podemos construir 120 triângulos; Podemos construir 252 pentágonos.

Observe que a ordem da escolha dos pontos que serão os vértices dos polígonos não é importante.

Sendo assim, utilizaremos a fórmula da Combinação: $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

a) Sabemos que um triângulo possui três vértices.

Então, precisamos escolher 3 pontos entre os 10 disponíveis na circunferência.

Dessa forma, vamos considerar que n = 10 e k = 3.

Substituindo esses dois valores na fórmula da Combinação, obtemos:

$C(10,3)=\frac{10!}{3!(10-3)!}$

$C(10,3)=\frac{10!}{3!7!}$

C(10,3) = 120.

Portanto, é possível construir 120 triângulos diferentes utilizando os dez pontos da circunferência.

b) O pentágono possui 5 vértices. Então, vamos escolher 5 entre os 10 pontos disponíveis na circunferência.

Considerando que n = 10 e k = 5, temos que:

$C(10,5)=\frac{10!}{5!(10-5)!}$

$C(10,5)=\frac{10!}{5!5!}$

C(10,5) = 252.

Portanto, é possível construir 252 pentágonos diferentes com os dez pontos da circunferência.

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