Question

(Sistemas Lineares) preciso de ajuda


1) 3x+y= -4
2x+5y= 6


2) x+y+z= 6
2x-y+z=3
x+4y-z = 6

3) x+y = 2
2x - z = -4
y + 3z = 9

Answer 1

• Primeiro sistema:

$\sf \begin{cases} \sf3x + y = - 4 \\ \sf 2x + 5y = 6 \end{cases}$

Esse sistema é bem simples de resolver, pois se você observar que ao multiplicarmos a primeira equação por (-5) poderemos cancelar a incógnita "y", ou seja, o sistema fica bem simples:

$\sf \begin{cases} \sf3x + y = - 4.( - 5) \\ \sf 2x + 5y = 6 \end{cases} \\ \\ \begin{cases} \sf - 15x - 5y = 20 \\ \sf2x + 5y = 6\end{cases} \\ \\ \sf - 15x + 2x = 20 + 6 \\ \sf - 13x = 26 \\ \sf x = - 2$

Substituindo o valor de "x" em uma das equações encontramos "y":

$\sf 3x + y = - 4 \\ \sf 3.( - 2) + y = 4 \ \\ \sf - 6 + y = - 4 \\ \sf y =2$

• Segundo sistema:

Esse já é um pouco mais chato, pois possui três incógnitas, para resolvê-lo usarei o escalonamento do mesmo.

$\sf \begin{cases} \sf x + y + z = 6 \\ \sf 2x - y + z = 3 \\ \sf x + 4y - z = 6 \end{cases}$

Podemos fazer um cancelamento da primeira linha com a segunda linha, então ficamos que:

$\sf L_3\leftarrow L_3 + L_1 \\ \sf L_3 \leftarrow 2x + 5y = 12$

$\sf \begin{cases} \sf x + y + z = 6 \\ \sf 2x - y + z = 3 \\ \sf 2x + 5y = 12 \end{cases}$

Na segunda linha podemos a fazer a mesma coisa, ou seja, somar a segunda com a primeira:

$\sf L_2 \leftarrow L_2 + L_1 \\ \sf L_2 \leftarrow 3x + 2z = 9$

$\sf \begin{cases} \sf x + y + z = 6 \\ \sf 3x + 2z = 9 \\ \sf 2x + 5y = 12 \end{cases}$

Agora façamos a segunda linha receber a segunda linha somada com a multiplicação da primeira linha multiplicada por -2:

$\sf L_2\leftarrow L_2 - 2L_1 \\ \sf L_2 \leftarrow x - 2y = - 3$

Substituindo:

$\sf \begin{cases} \sf x + y + z = 6 \\ \sf x - 2y = - 3\\ \sf 2x + 5y = 12 \end{cases}$

"Por fim" é só fazer a linha três receber a linha três somada com a linha dois multiplicada por -2:

$\sf L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2 \\ \sf L_3 \leftarrow9y = 18$

Substituindo essa equação:

$\begin{cases} \sf x + y + z = 6 \\ \sf x - 2y = - 3 \\ \sf 9y = 18\end{cases}$

E finalmente é só resolver normalmente as equações e encontrar os valores das incógnitas:

$\sf \begin{cases} \sf 9y = 18 \\ \sf y = \frac{18}{9} \\ \sf y = 2 \end{cases} \begin{cases} \sf x - 2y = - 3 \\ \sf x = - 3 + 4 \\ \sf x = 1 \end{cases} \begin{cases} \sf x + y + z = 6 \\ \sf 1 + 2 + z = 6 \\ \sf z = 3 \end{cases}$

• Terceiro sistema:

Nesse sistema vamos usar a substituição de algumas incógnitas através da manipulação.

$\begin{cases} \sf x + y = 2 \\ \sf 2x - z = - 4 \\ \sf y + 3z = 9\sf \end{cases}$

Nessa primeira equação podemos isolar a incógnita "x" ou "y", isolarei a incógnita "y":

$\sf y = 2 - x$

Substituindo na terceira equação:

$\sf y + 3z = 9 \\ \sf 2 - x + 3z = 9 \\ \sf 3z - x = 7$

Substituindo essa equação no sistema:

$\begin{cases} \sf x + y = 2 \\ \sf 2x - z = - 4 \\ \sf 3z - x = 7 \end{cases}$

A linha dois receberá a linha dois csomada com o dobro da segunda:

$\sf L_2\leftarrow L_2 + 2.L_3 \\ \sf L_2 \leftarrow 5z= 10$

Substituindo mais uma vez no sistema:

$\begin{cases} \sf x + y = 2 \\ \sf 5z = 10 \\ \sf 3z - x = 7 \end{cases}$

Finalmente é só resolver normalmente:

$\begin{cases} \sf 5z = 10 \\ \sf z = \frac{10}{5} \\ \sf z = 2 \end{cases} \begin{cases} \sf 2x - z = - 4 \\ \sf 2x - 2 = - 4\\ \sf x = - 1\\ \end{cases} \begin{cases} \sf x + y = 2 \\ \sf - 1 + y = 2 \\ \sf y = 3\end{cases}$

Espero ter ajudado .