Question

Sistemas de equações.

{x² + y² = 881
{√x - √y = 1​

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\begin{cases}\mathsf{x^2 + y^2 = 881}\\\mathsf{\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1}\end{cases}$

$\mathsf{x^2 + 2xy + y^2 = 881 + 2xy}$

$\mathsf{(x + y)^2 = 881 + 2xy}$

$\mathsf{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 1^2}$

$\mathsf{x - 2\sqrt{xy} + y = 1}$

$\mathsf{x + y = 1 + 2\sqrt{xy}}$

$\mathsf{(1 + 2\sqrt{xy})^2 = 881 + 2xy}$

$\mathsf{1 + 4\sqrt{xy} + 4xy= 881 + 2xy}$

$\mathsf{4\sqrt{xy} + 2xy= 880}$

$\mathsf{\sqrt{xy} = x}$

$\mathsf{2x^2 + 4x - 880 = 0}$

$\mathsf{\Delta = b^2 - 4.a.c}$

$\mathsf{\Delta = (4)^2 - 4.2.(-880)}$

$\mathsf{\Delta = 16 + 7.040}$

$\mathsf{\Delta = 7.056}$

$\mathsf{x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{7.056}}{4} \rightarrow \begin{cases}\mathsf{x' = \dfrac{-4 + 84}{2} = \dfrac{80}{4} = 20}\\\\\mathsf{x'' = \dfrac{-4 - 84}{4} = -\dfrac{88}{4} = -22}\end{cases}}$

$\mathsf{\sqrt{xy} = 20}$

$\mathsf{x + y = 1 + 2(20)}$

$\mathsf{x + y = 1 + 40}$

$\begin{cases}\mathsf{x + y = 41}\\\mathsf{xy = 400}\end{cases}$

$\mathsf{x = 41 - y}$

$\mathsf{(41 - y)y = 400}$

$\mathsf{y^2 - 41y + 400 = 0}$

$\mathsf{\Delta = b^2 - 4.a.c}$

$\mathsf{\Delta = (41)^2 - 4.1.(400)}$

$\mathsf{\Delta = 1.681 - 1.600}$

$\mathsf{\Delta = 81}$

$\mathsf{y = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{41 \pm \sqrt{81}}{2} \rightarrow \begin{cases}\mathsf{y' = \dfrac{41 + 9}{2} = \dfrac{50}{2} = 25}\\\\\mathsf{y'' = \dfrac{41 - 9}{2} = \dfrac{32}{2} = 16}\end{cases}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{x = 25}}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{y = 16}}}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto de interseção das curvas é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I(25,\,16)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Resolvendo o seguinte sistema de equções:

    $\Large\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 881\\\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1\end{cases}$

Completando os quadrados de ambas equações, temos:

    $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} + 2xy = 881\\x + y - 2\sqrt{x}\sqrt{y} = 1\end{cases}$

Isolando o quadrado "(x - y)²" no primeiro membro da primeira equação e

Isolando a soma "x + y" no primeiro membro da segunda equação, temos:

    $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} = 881 - 2xy\\x + y = 1 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} \end{cases}$

Elevendo ao quadrado ambos os membros da segunda equação:

      $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} = 881 - 2xy\\(x + y)^{2} = (1 + 2\sqrt{x}\sqrt{y})^{2} \end{cases}$

Desevolvendo ambos os membros da segunda equação:

     $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} = 881 - 2xy\\x + 2xy + y^{2} = 1^{2} + 2\cdot 1\cdot\sqrt{x}\sqrt{y} + 2^{2}(\sqrt{x})^{2}\cdot(\sqrt{y})^{2}\end{cases}$

Resolvendo e simplificando a segunda equação:

      $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} = 881 - 2xy\\x^{2} + 2xy + y^{2} = 1 + 4\sqrt{x}\sqrt{y} + 4xy\end{cases}$

      $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} = 881 - 2xy\\x^{2} + 2xy + y^{2} - 4xy = 1 + 4\sqrt{x}\sqrt{y}\end{cases}$

      $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} = 881 - 2xy\\x^{2} + y^{2} - 2xy = 1 + 4\sqrt{x}\sqrt{y}\end{cases}$

      $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} = 881 - 2xy\\(x - y)^{2} = 1 + 4\sqrt{x}\sqrt{y}\end{cases}$

Chegando neste ponto, devemos igualzr as equações:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 881 - 2xy = 1 + 4\sqrt{x}\sqrt{y}\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 881 - 2xy - 1 = 4\sqrt{x}\sqrt{y}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 880 - 2xy = 4\sqrt{x}\sqrt{y}\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 440 - xy = 2\sqrt{x}\sqrt{y}\end{gathered}$

Elevar ao quadrado ambos os membros:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} (440 - xy)^{2} = (2\sqrt{x}\sqrt{y})^{2}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 193600 - 880xy + (xy)^{2}= 2^{2}\cdot(\sqrt{x})^{2}\cdot(\sqrt{y})^{2}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 193600 - 880xy + (xy)^{2}= 4xy\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} (xy)^{2} - 884xy + 193600 = 0\end{gathered}$

Fazendo:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} xy = b\end{gathered}$

Temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} b^{2} - 884b + 193600 = 0\end{gathered}$

Calculando as raízes temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} b' = 400\:\:\:e\:\:\:b'' = 484\end{gathered}$

Observamos que a raíz b'' não é válida. Neste caso temos:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} xy = 400\end{gathered}$

Agora podemos montar o segundo sistema de equações:

               $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} + 2xy = 881\\xy = 400\end{cases}$

Substituindo o valor do produto temos:

            $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} + 2\cdot400 = 881\\xy = 400\end{cases}$

Simplificando a primeira equação do segundo sistema temos:

            $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} + 800 = 881\\xy = 400\end{cases}$

            $\Large\begin{cases} (x - y)^{2} = 881 - 800\\xy = 400\end{cases}$

Chegamos ao terceiro sistema de equações

             $\Large\begin{cases} x - y = 9\\xy = 400\end{cases}$

Após resolver o sistema chegamos aos seguintes valores para "x":

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = 25\:\:\:e\:\:\:x'' = -16\end{gathered}$

Logo de cara percebemos que "-16" não convém. Então utilizamos apenas o valor "x' = 25". A partir disso, concluímos que o valor de "y" é:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 16\end{gathered}$

Resolvendo este sistema chegamos ao seguinte resultado:

               $\Large\begin{cases} x = 25\\y = 16\end{cases}$

Saiba mais:

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Veja a solução gráfica da referida questão: