Question

(Sistema de numeração) Me ajudem aí!!! O número 47 na base a representa o mesmo numero que 74 na base b. Supondo que ambas as bases são inteiros positivos, qual o mínimo valor possível de a+b?

Answer 1

O numero 47 base a Possui dois digitos;

do = 7

d1 = 4

47base a = d   . a  + d
                     1             0

47base a = 4 . a  7

onde a ≥ 8,pois o maior digito deste numero e 7.

O numero 74 base b tambem possui dois digitos;

do = 4

d1 = 7

74 base b = d1 . b + do

74base b = 7 . b + 4

onde b ≥ 8,pois o maior digito deste numero tambem e 7.

Como os numeros são iguais,devemos ter

47 base a = 74base b

4a + 7 = 7b + 4

4a - 7b = 4 - 7

4a = 7b - 3

a = 7b - 3
            4

Da equação acima,temos q o numero 7b - 3 deve ser divisivel por 4.

Da nossa restrição inicial,temos que

b ∈ [ 8,9,10,11,...]

7b ∈ [ 56,63,70,77,...]

7b - 3 ∈ [ 53,60,67,74,...]

O menor elemento divisivel por 4 no conjunto acima e 60.Logo,devemos ter

7b - 3 = 60
7b = 60 + 3
7b = 63

7b = 63
          7
b = 9 [ satisfaz a condição b ≥ 8 ]

A soma minima das duas bases e

a + b = 15 + 9

a + b = 24