Question

Simplifique (n+2)!/(n+5)!

Answer 1

Sabemos que (n+5)! = (n+5).(n+4).(n+3).(n+2)!

Então temos:

(n+2)! / (n+5)! = (n+2)! / (n+5).(n+4).(n+3).(n+2)! = 1 / (n+5).(n+4).(n+3)

Answer 2

A forma simplificada da expressão dada é $\mathsf{\dfrac{1}{n^3+12n^2+47n+60}</strong><strong>.</strong><strong>}$

Segue a explicação detalhada.

Lembrando a definição de fatorial, temos:

$\mathsf{\dfrac{(n+2)!}{(n+5)!}= \dfrac{(n+2)!}{(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!}=} \\</p><p>\mathsf{\dfrac{\cancel{(n+2)!}}{(n+5)(n+4)(n+3)\cancel{(n+2)!}}=}\\ \mathsf{=\dfrac{1}{(n+5)(n+4)(n+3)}}$

Para simplificar mais o resultado e fazê-lo de forma mais prática, vamos utilizar a fórmula do Produto de Stevin para três binômios:

Produto de Stevin para três binômios: $\mathsf{(x+a)(x+b)(x+c)=x^3 +(a+b+c) x^2 +(ab+ac+bc)x+abc}$

Dessa forma, segue que:

$\mathsf{\dfrac{(n+2)!}{(n+5)!}=\dfrac{1}{(n+5)(n+4)(n+3)}=}\\ \mathsf{=\dfrac{1}{n^3+12n^2+47n+60}}$